Разделы сайта
Выбор редакции:
- Обязанности менеджера снабжению на производстве
- Гранты — средство воплощения мечты
- Как белорусские ремесленники решают проблему сбыта продукции Что можно делать ремесленнику в беларуси
- Дон Тэппинг - Бережливый офис: Устранение потерь времени и денег Бережливый офис внедрение
- Как правильно узнать о результатах собеседования: советы эксперта Как спросить работодателя о принятом решении
- Сообщение на тему начало книгопечатания
- Презентация "партизанское движение в годы вов" Интернет - источники оформления шаблона
- Программа поэтапного введения нового сотрудника в коллектив и в работу Специализированные программы адаптации включают вопросы
- Понятие капитала предприятия и его структура Чем отличается состав капитала от его структуры
- Система управления самолётом
Реклама
Чем определяется эффективность работы системы массового обслуживания. Структура и параметры эффективности и качества функционирования смо |
1. Интенсивность потока обслуживания заявок 2. Коэффициент загрузки СМО 3. Вероятность образования очереди 4. Вероятность отказа системы 5. Пропускная способность 6. Среднее число заявок, находящихся в очереди 7. Среднее число заявок, обслуживаемых СМО 8. Среднее число заявок, находящихся в СМО 9. Среднее время заявки в СМО 10. Среднее время пребывания заявки в очереди 11. Среднее число занятых каналов. Судить о качестве полученной системы нужно по сов-ти значений показателей. При анализе результатов моделирования важно обращать внимание на интересы клиента и владельца системы. В частности, следует min-ть или max-ть тот или иной показатель. 26. Одноканальная СМО 27. Одноканальная СМО с отказами 28. Многоканальная СМО с ограниченной очередью Параметры СМО: o Интенсивность потока заявок. o Интенсивность потока обслуживания. o Среднее t обслуживания заявки. o Кол-во каналов обслуживания. o Дисциплина обслуживания. < СМО на примере работы АЗС. Несколько одинак. колонок, произв-ть кот.известна. Если колонки заняты, то обслуживание в очереди м. ждать не > 3х машин одновременно. Очередь считаем общей. Если все места в очереди заняты, то машина получает отказ в обслуживании. 29. Транспортная задача - широкий круг задач не только транспортного хар-ра, распределение ресурсов, наход-ся у неск. поставщиков, д/другого произвольного числа потребителей. Д/перевозчиков наиболее часто отн-ся к транспорту: 1. Привязка потребителей к ресурсам производителей. 2. Привязка к пунктам назначения пунктов отправления. 3. Взаимопривязка грузопотока прямого и обратного направления. 4. Оптимальное распределение V выпуска промышл. продукции м/у изготов-ми. < модель привязки к пункту назначения. Известны: пункты отправления и назначения, объемы отправления по к-му пункту, потребность в грузе, стоимость доставки по каждому варианту. Н. оптимальный план перевозок с min транспортными издержками. 30. Тр. задача закрытая - ∑Vотправл. грузов= ∑V потреб-ти в этом грузе, т.е. ∑ai=∑bj (m – число поставщиков, n – число потребителей). 31 . Если это условие невозможно – открытая тр. задача . Тогда ее надо привести к закрытой: 1. Если потребность пунктов назначения превышает запасы пунктов отправления, то вводится фиктивный поставщик с недостающимV отправления. 2. Весь запас поставщиков > потребности, то ввод-сяфикт. потребитель. 32. Алгоритм решения задачи методом потенциалов (этапы): 1. Разработка начального плана (опорного решения). 2. Расчет потенциалов. 3. Проверка плана на оптимальность. 4. Поиск max звена не оптимальности (если п.3 не выполнен) 5. Составление контура перераспределения ресурсов. 6. Определение min эл-та в контуре перераспр-ния и перераспр. ресурсов по контуру. 7. Получение нового плана. Эта процедура повторяется несколько раз, пока не будет найдено оптимальное решение. Алгоритм остается неизменным.Методы отыскания начального плана: 1. Метод С-З угла 2. Метод min стоимости 3. Метод двойного предпочтения Метод потенциалов позволяет за конечное число планов найти оптимальный. (Метод Фогеля) Метод потенциалов разработан д/классич. транспорт.задач, но такие встречаются редко, приходится вводить ряд ограничений. 33. В экономике организации встреч-ся норма задач, кот.м.б. сведены к транспортной задаче: 1. Отд. поставки от опред. поставщиков некот. потребителями д.б. исключены из-за отсутствия необх. усл. хранения, перегрузки коммуникаций, и т.д. 2. Организ. необх. опред. min ∑затраты на пр-во и транспортировку продукции. М. оказаться экономич. более выгодным доставлять сырье из более отдал.пунктов, но при <себест-ти. Критерий оптимальности принимает ∑ затрат на пр-во и тран-ку. 3. Ряд трансп. маршрутов имеют ограничения по пропускной спос-ти. 4. Поставки по определ. маршрутам обязательны и обязат. д. войти в оптим. план. 5. Экономическая задача не является транспортной. (Пр. – распределение произв. изделий м/у предприятиями). 6. Необходимость max-ть целевую ф-ю задачи транспортного типа. 7. Необходимость в одно и то же t распределить груз различного рода по потребителям – Многопродуктовая транспортная задача . 8. Доставка грузов в краткий срок. (Метод потенциалов не пригоден, решается с пом. спец. алгоритма). 34. Транспортная задача в сетевой подстановке Если условие транспортной задачи задано в виде схемы, на кот.изображены поставщики, потребители и связыв. их дороги, указаны величины запасов груза и потребностей в нем и показатели критерия оптимальности (тарифы, расстояния).В вершинах (узлах) сети изображают поставщиков и потребителей. Запасы груза считают положительными, а потребности отрицательными числами. Ребра (дуги) сети – дороги.Решение трансп. задачи в сетевой постановке основано на методе потенциалов и нач-ся с построения начального опорного плана, который должен удовлетворять требованиям: 1. Все запасы должны быть распределены, а потребители удовлетворены. 2. Для каждой вершины должна быть указана поставка груза (+ или -) 3. Общее количество поставок должно быть на 1 меньше числа вершин. 4. Стрелки, которыми обозначают поставки, не д. образовывать замкн. контур. Затем план проверяют на оптимальность, для чего вычисляют потенциалы. Получают новый план и снова исследуют на оптимальность. Определяют значение целевой функции. В случае открытой модели вводят фиктивного потребителя или поставщика. 35. Д/решения научных и практических задач в области логистики прим. основные методы: 1. Методы системного анализа 2. Методы теории исследования операции 3. Кибернетические методы 4. Метод прогнозирования 5. Методы экспертных оценок 6. Методы моделирования 36. Наиболее часть в логистике применяется имитац. моделирование, в кот.закономерности, определяющие количественное отношение остаются неизвестными, а сам логистический процесс остается «черным ящиком» или «серым ящиком». К основным процессам имитац. моделирования отн-ся: 1. Конструирование модели реальной системы. 2. Постановка экспериментов на этой модели. Цели моделирования: o Определение поведения логистической системы. o Выбор стратегии д/обеспеч. наиб.эфф-го функционирования логистич. системы. Имитац. моделирование целесообразно исполнять, когда вып-ся условия: 1. Не сущ. законченой постановки задач или не разработаны аналитические методы решения сформулиров. матем. модели. 2. Аналитич. модель имеется, но процедуры сложны и трудоемки, сл. имитац. моделирование дает более простой способ решения задачи. 3. Аналитич. решения сущ., но их реализация невозможна из-за недостаточной математической подготовки персонала. 37. Широкое применение в логистике нашли экспертные системы – спец. комп.программы, кот. помогают специалистам принимать решения, связ. с управлением материальным потоком. Экспертная система позволяет: 1. Принимать быстрые и качественные решения в области управления материальными потоками. 2. подготовить опытных специалистов за отн-но короткий срок. 4. Использовать опыт и знания высококвалифицированных специалистов на различных рабочих местах. Недостатки экспертной системы: 1. Ограниченные воз-ти использования здравого смысла. 2. Невозм-но учесть все особенности в программе экспертной системы. 1. Показатели эффективности использования СМО: Абсолютная пропускная способность СМО – среднее число заявок, которое смо- жет обслужить СМО в единицу времени. Относительная пропускная способность СМО – отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших за это же время заявок. Средняя продолжительность периода занятости СМО. Коэффициент использования СМО – средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслуживанием заявок, и т.п. 2. Показатели качества обслуживания заявок: Среднее время ожидания заявки в очереди. Среднее время пребывания заявки в СМО. Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания. Вероятность того, что вновь поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию. Закон распределения времени ожидания заявки в очереди. Закон распределения времени пребывания заявки в СМО. Среднее число заявок, находящихся в очереди. Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п. 3. Показатели эффективности функционирования пары «СМО – клиент», где под «клиентом» понимают всю совокупность заявок или некий их источник. К числу таких показателей относится, например, средний доход, приносимый СМО в единицу времени Классификация систем массового обслуживания По числу каналов СМО: одноканальные (когда имеется один канал обслуживания) многоканальные , точнее n -канальные (когда количество каналов n ≥ 2). По дисциплине обслуживания: 1. СМО с отказами , в которых заявка, поступившая на вход СМО в момент, когда все каналы заняты, получает «отказ» и покидает СМО («пропадает»). Чтобы эта заявка все же была обслужена, она должна снова поступить на вход СМО и рассматриваться при этом как заявка, поступившая впервые. Примером СМО с отказами может служить работа АТС: если набранный телефонный номер (заявка, поступившая на вход) занят, то заявка получает отказ, и, чтобы дозвониться по этому номеру, следует его набрать еще раз. 2. СМО с ожиданием (неограниченным ожиданием или очередью ). В таких системах заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь и ожидает освобождения канала, который примет ее к обслуживанию. Каждая заявка, поступившая на вход, в конце концов будет обслужена. Такие СМО часто встречаются в торговле, в сфере бытового и медицинского обслуживания, на предприятиях (например, обслуживание станков бригадой наладчиков). 3. СМО смешанного типа (с ограниченным ожиданием ). Это такие системы, в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения. Эти ограничения могут накладываться на длину очереди , т.е. максимально возможное число заявок, которые одновременно могут находиться в очереди. В качестве примера такой системы можно привести мастерскую по ремонту автомобилей, имеющую ограниченную по размерам стоянку для неисправных машин, ожидающих ремонта. Ограничения ожидания могут касаться времени пребывания заявки в очереди , по исте- чению которого она выходит из очереди и покидает систему). В СМО с ожиданием и в СМО смешанного типа применяются различные схемы об- служивания заявок из очереди. Обслуживание может быть упорядоченным , когда заявки из очереди обслуживаются в порядке их поступления в систему, и неупорядоченным , при котором заявки из очереди обслуживаются в случайном порядке. Иногда применяется обслуживание с приоритетом , когда некоторые заявки из очереди считаются приоритетными и поэтому обслуживаются в первую очередь. По ограничению потока заявок: замкнутые и открытые . Если поток заявок ограничен и заявки, покинувшие систему, могут в нее возвращать- ся, то СМО является замкнутой , в противном случае – открытой . По количеству этапов обслуживания: однофазные и многофазные Если каналы СМО однородны, т.е. выполняют одну и ту же операцию обслужива- ния, то такие СМО называются однофазными . Если каналы обслуживания расположены последовательно и они неоднородны, так как выполняют различные операции обслуживания (т.е. обслуживание состоит из нескольких последовательных этапов или фаз), то СМО называется многофазной . Примером работы многофазной СМО является обслуживание автомобилей на станции технического обслуживания (мойка, диагностирование и т.д.). Рассмотренный в предыдущей лекции марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем имеет место в системах массового обслуживания (СМО). Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. Примерами систем массового обслуживания могут служить:
Рассмотрим схему работы СМО (рис. 1). Система состоит из генератора заявок, диспетчера и узла обслуживания, узла учета отказов (терминатора, уничтожителя заявок). Узел обслуживания в общем случае может иметь несколько каналов обслуживания. Рис. 1
Кроме этих основных элементов в СМО в некоторых источниках выделяются также следующие составляющие: терминатор – уничтожитель трансактов; склад – накопитель ресурсов и готовой продукции; счет бухгалтерского учета – для выполнения операций типа «проводка»; менеджер – распорядитель ресурсов; Классификация СМОПервое деление (по наличию очередей):
В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной. СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь, – ограничена или не ограничена . Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания». Итак, например, рассматриваются следующие СМО:
Типы ограничения очереди могут быть комбинированными. Другая классификация делит СМО по источнику заявок. Порождать заявки (требования) может сама система или некая внешняя среда, существующая независимо от системы. Естественно, поток заявок, порожденный самой системой, будет зависеть от системы и ее состояния. Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО. В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки. Пример замкнутой системы: выдача кассиром зарплаты на предприятии. По количеству каналов СМО делятся на:
Характеристики системы массового обслуживанияОсновными характеристиками системы массового обслуживания любого вида являются:
Входной поток требованийДля описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание, и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (количество таких требований в каждом очередном поступлении ). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием. А i – время поступления между требованиями – независимые одинаково распределенные случайные величины; E(A) – среднее (МО) время поступления; λ=1/E(A) – интенсивность поступления требований; Характеристики входного потока:
Дисциплина очередиОчередь – совокупность требований, ожидающих обслуживания. Очередь имеет имя. Дисциплина очереди определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:
first in first out (FIFO) самый распространенный тип очереди. Какая структура данных подойдет для описания такой очереди? Массив плох (ограничен). Можно использовать структуру типа СПИСОК. Список имеет начало и конец. Список состоит из записей. Запись – это ячейка списка. Заявка поступает в конец списка, а выбирается на обслуживание из начала списка. Запись состоит из характеристики заявки и ссылки (указатель, за кем стоит). Кроме этого, если очередь с ограничением на время ожидания, то еще должно быть указано предельное время ожидания. Вы как программисты должны уметь делать списки двусторонние, односторонние. Действия со списком:
Структура, известная как СТЕК. Может быть описан структурой массив или список;
Каждая заявка характеризуется помимо прочего уровнем приоритета и при поступлении помещается не в хвост очереди, а в конец своей приоритетной группы. Диспетчер осуществляет сортировку по приоритету. Характеристики очереди
Механизм обслуживанияМеханизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся:
Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований». S i – время обслуживания i -го требования; E(S) – среднее время обслуживания; μ=1/E(S) – скорость обслуживания требований. Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода из строя обслуживающего канала по истечении некоторого ограниченного интервала времени. Эту характеристику можно моделировать как поток отказов, поступающий в СМО и имеющий приоритет перед всеми другими заявками. Коэффициент использования СМО N ·μ – скорость обслуживания в системе, когда заняты все устройства обслуживания. ρ=λ/(N μ) – называется коэффициентом использования СМО , показывает, насколько задействованы ресурсы системы. Структура обслуживающей системыСтруктура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживани . Пример. Кассы в магазине. Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно . Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований. Пример. Медицинская комиссия. Комбинированное обслуживание – обслуживание вкладов в сберкассе: сначала контролер, потом кассир. Как правило, 2 контролера на одного кассира. Итак, функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами :
Основные критерии эффективности функционирования СМОВ качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:
Очевидно, что Р обсл + P отк =1. Потоки, задержки, обслуживание. Формула Поллачека–ХинчинаЗадержка – один из критериев обслуживания СМО, время проведенное заявкой в ожидании обслуживания. D i – задержка в очереди требования i ; W i =D i +S i – время нахождения в системе требования i . (с вероятностью 1) – установившаяся средняя задержка требования в очереди; (с вероятностью 1) – установившееся среднее время нахождения требования в СМО (waiting). Q(t) – число требований в очереди в момент времени t; L(t) – число требований в системе в момент времени t (Q(t) плюс число требований, которые находятся на обслуживании в момент времени t. Тогда показатели (если существуют) (с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в очереди; (с вероятностью 1) – установившееся среднее по времени число требований в системе. Заметим, что ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Q и L в системе массового обслуживания. Если вспомнить, что ρ= λ/(N μ), то видно, что если интенсивность поступления заявок больше, чем N μ, то ρ>1 и естественно, что система не сможет справиться с таким потоком заявок, а следовательно, нельзя говорить о величинах d, w, Q и L. К наиболее общим и нужным результатам для систем массового обслуживания относятся уравнения сохранения Следует обратить внимание, что упомянутые выше критерии оценки работы системы могут быть аналитически вычислены для систем массового обслуживания M/M/N (N >1), т. е. систем с Марковскими потоками заявок и обслуживания. Для М/G/ l при любом распределении G и для некоторых других систем. Вообще распределение времени между поступлениями, распределение времени обслуживания или обеих этих величин должно быть экспоненциальным (или разновидностью экспоненциального распределения Эрланга k-го порядка), чтобы аналитическое решение стало возможным. Кроме этого можно также говорить о таких характеристиках, как:
Еще один интересный (и наглядный) пример аналитического решения – вычисление установившейся средней задержки в очереди для системы массового обслуживания M/G/ 1 по формуле: . В России эта формула известна как формула Поллачека– Хинчина, за рубежом эта формула связывается с именем Росса (Ross). Таким образом, если E(S) имеет большее значение, тогда перегрузка (в данном случае измеряемая как d ) будет большей; чего и следовало ожидать. По формуле можно обнаружить и менее очевидный факт: перегрузка также увеличивается, когда изменчивость распределения времени обслуживания возрастает, даже если среднее время обслуживания остается прежним. Интуитивно это можно объяснить так: дисперсия случайной величины времени обслуживания может принять большое значение (поскольку она должна быть положительной), т. е. единственное устройство обслуживания будет занято длительное время, что приведет к увеличению очереди. Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам. Случайный характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса , происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские . В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему. В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ. | Курсовая работа «Имитационное моделирование системы массового обслуживания» по курсу «Исследование операций» ВведениеПри исследовании операций часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования при решении однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы – систем массового обслуживания (СМО). Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (приборов, устройств, пунктов, станций), которые называются каналами обслуживания. Каналами могут быть линии связи, рабочие точки, вычислительные машины, продавцы и др. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные. Заявки поступают в СМО обычно не регулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований). Обслуживание заявок также продолжается какое-то случайное время. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что СМО оказывается загруженной неравномерно: в какие-то периоды времени скапливается очень большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными), в другие же периоды СМО работает с недогрузкой или простаивает. Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способность справляться с потоком заявок. В качестве показателей эффективности СМО используются: – Абсолютная пропускная способность системы (А Q – вероятность отказа обслуживания заявки (); k ); – среднее число заявок в очереди (); СМО делят на 2 основных типа: СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (например, заявка на телефонный разговор в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает СМО не обслуженной). В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание. Одним из методов расчета показателей эффективности СМО является метод имитационного моделирования. Практическое использование компьютерного имитационного моделирования предполагает построение соответствующей математической модели, учитывающей факторы неопределенности, динамические характеристики и весь комплекс взаимосвязей между элементами изучаемой системы. Имитационное моделирование работы системы начинается с некоторого конкретного начального состояния. Вследствие реализации различных событий случайного характера, модель системы переходит в последующие моменты времени в другие свои возможные состояния. Этот эволюционный процесс продолжается до конечного момента планового периода, т.е. до конечного момента моделирования. 1. Основные характеристики CМОи показатели их эффективности1.1 Понятие марковского случайного процессаПусть имеется некоторая система, которая с течением времени изменяет свое состояние случайным образом. В этом случае говорят, что в системе протекает случайный процесс. Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его состояния можно заранее перечислить и переход системы из одного состояния в другое происходит скачком. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние происходят мгновенно. Процесс работы СМО – это случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Случайный процесс называют марковским или случайным процессом без последействия, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. При анализе процессов работы СМО удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний . Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками, а возможные переходы из состояния в состояние – стрелками. Пример графа состояний приведен на рис. 1. Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени. Поток характеризуется интенсивностью λ – частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: . Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый участок времени двух и более событий мала по сравнению с вероятностью попадания одного события, т.е., если события появляются в нем поодиночке, а не группами. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени и число событий, попадающих на одно из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. 1.2 Уравнения КолмогороваВсе переходы в системе из состояния в состояние происходят под некоторым потоком событий. Пусть система находится в некотором состоянии , из которого возможен переход в состояние , тогда можно считать, что на систему воздействует простейший поток с интенсивностью , переводящий ее из состояния в . Как только появляется первое событие потока, происходит ее переход . Для наглядности на графе состояний у каждой стрелки, соответствующей переходу, указывается интенсивность . Такой размеченный граф состояний позволяет построить математическую модель процесса, т.е. найти вероятности всех состояний как функции времени. Для них составляются дифференциальные уравнения, называемые уравнениями Колмогорова. Правило составлений уравнений Колмогорова: В левой части каждого из уравнений стоит производная по времени от вероятности данного состояния. В правой части стоит сумма произведений всех состояний, из которых возможен переход в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного состояния. Например, для графа состояний, приведенного на рис. 1, уравнения Колмогорова имеют вид: Т.к. в правой части системы каждое слагаемое входит 1 раз со знаком и 1 раз со знаком , то, складывая все уравнений, получим, что , , Следовательно, одно из уравнений системы можно отбросить и заменить уравнением (1.2.1). Чтобы получить конкретное решение надо знать начальные условия, т.е. значения вероятностей в начальный момент времени. 1.3 Финальные вероятности и граф состояний СМОПри достаточно большом времени протекания процессов в системе (при ) могут устанавливаться вероятности состояний, не зависящие от времени, которые называются финальными вероятностями, т.е. в системе устанавливается стационарный режим. Если число состояний системы конечно, и из каждого из них за конечное число шагов м. перейти в любое другое состояние, то финальные вероятности существуют, т.е. Смысл финальных вероятностей состоит в том, что они равны среднему относительному времени нахождения системы в данном состоянии. Т.к. в стационарном состоянии производные по времени равны нулю, то уравнения для финальных вероятностей получаются из уравнений Колмогорова путем приравнивания нулю их правых частей. Графы состояний, используемые в моделях систем массового обслуживания, называются схемой гибели и размножения. Такое название обусловлено тем, что эта схема используется в биологических задачах, связанных с изучением численности популяции. Его особенность состоит в том, что все состояния системы можно представить в виде цепочки, в которой каждое из состояний связано с предыдущим и последующим (рис 2). Рис. 2. Граф состояний в моделях СМО Предположим, что все потоки, переводящие систему из одного состояния в другое, простейшие. По графу, представленному на рис. 2, составим уравнения для финальных вероятностей системы. Они имеют вид: Получается система из ( n +1) уравнения, которая решается методом исключения. Этот метод заключается в том, что последовательно все вероятности системы выражаются через вероятность . , . Подставляя эти выражения в последнее уравнение системы, находим , затем находим остальные вероятности состояний СМО. 1.4 Показатели эффективности СМОЦель моделирования СМО состоит в том, чтобы рассчитать показатели эффективности системы через ее характеристики. В качестве показателей эффективности СМО используются: – абсолютная пропускная способность системы (А ), т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; – относительная пропускная способность (Q ), т.е. средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой; – вероятность отказа (), т.е. вероятность того, что заявка покинет СМО не обслуженной; – среднее число занятых каналов (k ); – среднее число заявок в СМО (); – среднее время пребывания заявки в системе (); – среднее число заявок в очереди () – длина очереди; – среднее число заявок в системе (); – среднее время пребывания заявки в очереди (); – среднее время пребывания заявки в системе () – степень загрузки канала (), т.е. вероятность того, что канал занят; – среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; – среднее время ожидания обслуживания; – вероятность того, что число заявок в очереди превысит определенное значение и т.п. Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания, среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е. (1.4.1) Формулы (1.4.1) и (1.4.2) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее, т.е. оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность . Формулы для вычисления показателей эффективности приведены в таб. 1. Таблица 1.
1.5 Основные понятия имитационного моделированияОсновная цель имитационного моделирования заключается в воспроизведении поведения изучаемой системы на основе анализа наиболее существенных взаимосвязей ее элементов. Компьютерное имитационное моделирование следует рассматривать как статический эксперимент. Из теории функций случайных величин известно, что для моделирования случайной величины с любой непрерывной и монотонно возрастающей функцией распределения достаточно уметь моделировать случайную величину , равномерно распределенную на отрезке . Получив реализацию случайной величины , можно найти соответствующую ей реализацию случайной величины , так как они связаны равенством Предположим, что в некоторой системе массового обслуживания время обслуживания одной заявки распределено по экспоненциальному закону с параметром , где – интенсивность потока обслуживания. Тогда функция распределения времени обслуживания имеет вид Пусть - реализация случайной величины , равномерно распределенной на отрезке , а – соответствующая ей реализация случайного времени обслуживания одной заявки. Тогда, согласно (1.5.1) 1.6 Построение имитационных моделейПервый этап создания любой имитационной модели – этап описания реально существующей системы в терминах характеристик основных событий. Эти события, как правило, связаны с переходами изучаемой системы из одного возможного состояния в другое и обозначаются как точки на временной оси. Для достижения основной цели моделирования достаточно наблюдать систему в моменты реализации основных событий. Рассмотрим пример одноканальной системы массового обслуживания. Целью имитационного моделирования подобной системы является определение оценок ее основных характеристик, таких, как среднее время пребывания заявки в очереди, средняя длина очереди и доля времени простоя системы. Характеристики самого процесса массового обслуживания могут изменять свои значения либо в момент поступления новой заявки на обслуживание, либо при завершении обслуживания очередной заявки. К обслуживанию очередной заявки СМО может приступить немедленно (канал обслуживания свободен), но не исключена необходимость ожидания, когда заявке придется занять место в очереди (СМО с очередью, канал обслуживания занят). После завершения обслуживания очередной заявки СМО может сразу приступить к обслуживанию следующей заявки, если она есть, но может и простаивать, если таковая отсутствует. Необходимую информацию можно получить, наблюдая различные ситуации, возникающие при реализациях основных событий. Так, при поступлении заявки в СМО с очередью при занятом канале обслуживания длина очереди увеличивается на 1. Аналогично длина очереди уменьшается на 1, если завершено обслуживание очередной заявки и множество заявок в очереди не пусто. Для эксплуатации любой имитационной модели необходимо выбрать единицу времени. В зависимости от природы моделируемой системы такой единицей может быть микросекунда, час, год и т.д. Так как по своей сути компьютерное имитационное моделирование представляет собой вычислительный эксперимент, то его наблюдаемые результаты в совокупности должны обладать свойствами реализации случайной выборки. Лишь в этом случае будет обеспечена корректная статистическая интерпретация моделируемой системы. При компьютерном имитационном моделировании основной интерес представляют наблюдения, полученные после достижения изучаемой системой стационарного режима функционирования, так как в этом случае резко уменьшается выборочная дисперсия. Время, необходимое для достижения системой стационарного режима функционирования, определяется значениями ее параметров и начальным состоянием. Поскольку основной целью является получение данных наблюдений с возможно меньшей ошибкой, то для достижения этой цели можно: 1) увеличить длительность времени имитационного моделирования процесса функционирования изучаемой системы. В этом случае не только увеличивается вероятность достижения системой стационарного режима функционирования, но и возрастает число используемых псевдослучайных чисел, что также положительно влияет на качество получаемых результатов. 2) при фиксированной длительности времени Т имитационного моделирования провести N вычислительных экспериментов, называемых еще прогонами модели, с различными наборами псевдослучайных чисел, каждый из которых дает одно наблюдение. Все прогоны начинаются при одном и том же начальном состоянии моделируемой системы, но с использованием различных наборов псевдослучайных чисел. Преимуществом этого метода является независимость получаемых наблюдений , показателей эффективности системы. Если число N модели достаточно велико, то границы симметричного доверительного интервала для параметра определяются следующим образом: , , т.е. , где Исправленная дисперсия, , N – число прогонов программы, – надежность, . 2. Аналитическое моделирование СМО2.1 Граф состояний системы и уравнения КолмогороваРассмотрим двухканальную систему массового обслуживания (n = 2) с ограниченной очередью равной шести (m = 4). В СМО поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью λ = 4,8 и показательным законом распределения времени между поступлением заявок. Поток обслуживаемых в системе заявок является простейшим со средней интенсивностью μ = 2 и показательным законом распределения временем обслуживания. Данная система имеет 7 состояний, обозначим их: S 0 – система свободная, нет заявок; S 1 – 1 заявка на обслуживании, очередь пуста; S 2 – 2 заявки на обслуживании, очередь пуста; S 3 – 2 заявки на обслуживании, 1 заявка в очереди; S 4 – 2 заявки на обслуживании, 2 заявки в очереди; S 5 – 2 заявки на обслуживании, 3 заявки в очереди; S 6 – 2 заявки на обслуживании, 4 заявки в очереди; Вероятности прихода системы в состояния S 0 , S 1 , S 2 , …, S 6 соответственно равны Р 0 , Р 1 , Р 2 , …, Р 6 . Граф состояний системы массового обслуживания представляет собой схему гибели и размножения. Все состояния системы можно представить в виде цепочки, в которой каждое из состояний связано с предыдущим и последующим. Рис. 3. Граф состояний двухканальной СМО Для построенного графа запишем уравнения Колмогорова: Чтобы решить данную систему зададим начальные условия: Систему уравнений Колмогорова (систему дифференциальных уравнений) решим численным методом Эйлера с помощью программного пакета Maple 11 (см. Приложение 1). Метод Эйлера где- в нашем случае, это правые части уравнений Колмогорова, n=6. Выберем шаг по времени . Предположим , где Т – это время, за которое система выходит на стационарный режим. Отсюда получаем число шагов . Последовательно N раз вычисляя по формуле (1) получим зависимости вероятностей состояний системы от времени, приведенной на рис. 4. Значения вероятностей СМО при равны: Рис. 4. Зависимости вероятностей состояний системы от времени
При достаточно большом времени протекания процессов в системе () могут устанавливаться вероятности состояний, не зависящие от времени, которые называются финальными вероятностями, т.е. в системе устанавливается стационарный режим. Если число состояний системы конечно, и из каждого из них за конечное число шагов можно перейти в любое другое состояние, то финальные вероятности существуют, т.е. Т.к. в стационарном состоянии производные по времени равны 0, то уравнения для финальных вероятностей получаются из уравнений Колмогорова путем приравнивания правых частей 0. Запишем уравнения для финальных вероятностей для нашей СМО. Решим данную систему линейных уравнений с помощью программного пакета Maple 11 (см. Приложение 1). Получим финальные вероятности системы: Сравнение вероятностей, полученных из системы уравнений Колмогорова при , с финальными вероятностями показывает, что ошибки равны: Т.е. достаточно малы. Это подтверждает правильность полученных результатов. 2.3 Расчет показатели эффективности системы по финальным вероятностямНайдем показатели эффективности системы массового обслуживания. Сначала вычислим приведенную интенсивность потока заявок: 1) Вероятность отказав обслуживании заявки, т.е. вероятность того, что заявка покидает систему не обслуженной.В нашем случае заявке отказывается в обслуживании, если все 2 канала заняты, и очередь максимально заполнена (т.е. 4 человек в очереди), это соответствует состоянию системы S 6 . Т.к. вероятность прихода системы в состояние S 6 равна Р 6 , то 4) Средняя длина очереди, т.е. среднее число заявок в очереди, равна сумме произведений числа заявок в очереди на вероятность соответствующего состояния. 5) Среднее время пребывания заявки в очередиопределяется формулой Литтла: 3. Имитационное моделирование СМО3.1 Алгоритм метода имитационного моделирования СМО (пошаговый подход)Рассмотрим двухканальную систему массового обслуживания (n = 2) с максимальной длиной очереди равной шести (m = 4). В СМО поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью λ = 4,8 и показательным законом распределения времени между поступлением заявок. Поток обслуживаемых в системе заявок является простейшим со средней интенсивностью μ = 2 и показательным законом распределения временем обслуживания. Для имитации СМО воспользуемся одним из методов статистического моделирования – имитационным моделированием. Будем использовать пошаговый подход. Суть этого подхода в том, что состояния системы рассматриваются в последующие моменты времени, шаг между которыми является достаточно малым, чтобы за его время произошло не более одного события. Выберем шаг по времени (). Он должен быть много меньше среднего времени поступления заявки () и среднего времени ее обслуживания (), т.е. Где (3.1.1) Исходя из условия (3.1.1) определим шаг по времени . Время поступления заявки в СМО и время ее обслуживания являются случайными величинами. Поэтому, при имитационном моделировании СМО их вычисление производится с помощью случайных чисел. Рассмотрим поступление заявки в СМО. Вероятность того, что на интервале в СМО поступит заявка, равна: . Сгенерируем случайное число , и, если , то будем считать, что заявка на данном шаге в систему поступила, если , то не поступила. В программе это осуществляет isRequested () . Интервал времени примем постоянным и равным 0,0001, тогда отношение будет равно 10000. Если заявка поступила, то она принимает значение «истина», в противном случае значение «ложь». bool isRequested() double r = R. NextDouble(); if (r < (timeStep * lambda)) Рассмотрим теперь обслуживание заявки в СМО. Время обслуживания заявки в системе определяется выражением , где – случайное число. В программе время обслуживания определяется с помощью функции GetServiceTime () . double GetServiceTime() double r = R. NextDouble(); return (-1/mu*Math. Log (1-r, Math.E)); Алгоритм метода имитационного моделирования можно сформулировать следующим образом. Время работы СМО (Т ) разбивается на шаги по времени dt , на каждом из них выполняется ряд действий. Вначале определяются состояния системы (занятость каналов, длина очереди), затем, с помощью функции isRequested () , определяется, поступила ли на данном шаге заявка или нет. Если поступила, и, при этом имеются свободные каналы, то с помощью функции GetServiceTime () генерируем время обработки заявки и ставим ее на обслуживание. Если все каналы заняты, а длина очереди меньше 4, то помещаем заявку в очередь, если же длина очереди равна 4, то заявке будет отказано в обслуживании. В случае, когда на данном шаге заявка не поступала, а канал обслуживания освободился, проверяем, есть ли очередь. Если есть, то из очереди заявку ставим на обслуживание в свободный канал. После проделанных операций время обслуживания для занятых каналов уменьшаем на величину шага dt . По истечении времени Т , т.е., после моделирования работы СМО, вычисляются показатели эффективности работы системы и результаты выводятся на экран. 3.2 Блок-схема программыБлок-схема программы, реализующей описанный алгоритм, приведена на рис. 5.Рис. 5. Блок-схема программы Распишем некоторые блоки более подробно. Блок 1. Задание начальных значений параметров. Random R; // Генератор случайных чисел public uint maxQueueLength; // Максимальная длина очереди public uint channelCount; // Число каналов в системе public double lambda; // Интенсивность потока поступления заявок public double mu; // Интенсивность потока обслуживания заявок public double timeStep; // Шагповремени public double timeOfFinishProcessingReq; // Время окончания обслуживания заявки во всех каналах public double timeInQueue; // Время пребывания СМО в состояниях с очередью public double processingTime; // Времяработысистемы public double totalProcessingTime; // Суммарноевремяобслуживаниязаявок public uint requestEntryCount; // Числопоступившихзаявок public uint declinedRequestCount; // Числоотказанныхзаявок public uint acceptedRequestCount; // Числообслуженныхзаявок uint queueLength; // Длина очереди // Тип, описывающий состояния СМО enum SysCondition {S0, S1, S2, S3, S4, S5, S6}; SysCondition currentSystemCondition; // Текущее состояние системы Задание состояний системы. Выделим у данной 2-х канальной системы 7 различных состояний: S 0 , S 1 . S 6 . СМО находится в состоянии S 0 , когда система свободна; S 1 – хотя бы один канал свободен; в состоянии S 2 , когда все каналы заняты, и есть место в очереди; в состоянии S 6 – все каналы заняты, и очередь достигла максимальной длины (queueLength = 4). Определяем текущее состояние системы с помощью функции GetCondition() SysCondition GetCondition() SysCondition p_currentCondit = SysCondition.S0; int busyChannelCount = 0; for (int i = 0; i < channelCount; i++) if (timeOfFinishProcessingReq[i] > 0) busyChannelCount++; p_currentCondit += k * (i + 1); if (busyChannelCount > 1) {p_currentCondit ++;} return p_currentCondit + (int) QueueLength; Изменение времени пребывания СМО в состояниях с длиной очереди 1, 2,3,4. Это реализуется следующим программным кодом: if (queueLength > 0) timeInQueue += timeStep; if (queueLength > 1) {timeInQueue += timeStep;} Присутствует такая операция, как помещение заявки на обслуживание в свободный канал. Просматриваются, начиная с первого, все каналы, когда выполняется условие timeOfFinishProcessingReq [ i ] <= 0 (канал свободен), в него подается заявка, т.е. генерируется время окончания обслуживания заявки. for (int i = 0; i < channelCount; i++) if (timeOfFinishProcessingReq [i] <= 0) timeOfFinishProcessingReq [i] = GetServiceTime(); totalProcessingTime+= timeOfFinishProcessingReq [i]; Обслуживаниезаявоквканалахмоделируетсякодом: for (int i = 0; i < channelCount; i++) if (timeOfFinishProcessingReq [i] > 0) timeOfFinishProcessingReq [i] -= timeStep; Алгоритм метода имитационного моделирования реализован на языке программирования C#. 3.3 Расчет показателей эффективности СМО на основе результатов ее имитационного моделированияНаиболее важными являются такие показатели, как: 1) Вероятность отказа в обслуживании заявки, т.е. вероятность того, что заявка покидает систему не обслуженной.В нашем случае заявке отказывается в обслуживании, если все 2 канала заняты, и очередь максимально заполнена (т.е. 4 человек в очереди). Для нахождения вероятности отказа разделим время пребывания СМО в состоянии с очередью 4 на общее время работы системы. 2) Относительная пропускная способность – это средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой. 3) Абсолютная пропускная способность– это среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени. 4) Длина очереди, т.е. среднее число заявок в очереди. Длина очереди равна сумме произведений числа человек в очереди на вероятность соответствующего состояния. Вероятности состояний найдем как отношение времени нахождения СМО в этом состоянии к общему времени работы системы. 5) Среднее время пребывания заявки в очереди определяется формулой Литтла 6) Среднее число занятых каналовопределяется следующим образом: 7) Процент заявок, которым было отказано в обслуживании, находится по формуле 8) Процент обслуженных заявок находится по формуле 3.4 Статистическая обработка результатов и их сравнение с результатами аналитического моделирования Т.к. показатели эффективности получаются в результате моделирования СМО в течение конечного времени, они содержат случайную компоненту. Поэтому, для получения более надежных результатов нужно провести их статистическую обработку. С этой целью оценим доверительный интервал для них по результатам 20 прогонов программы. Величина попадает в доверительный интервал, если выполняется неравенство , где математическое ожидание (среднее значение), находится по формуле Исправленная дисперсия, , N =20 – число прогонов, – надежность. При и N =20 . Результат работы программы представлен на рис. 6. Рис. 6. Вид программы Для удобства сравнения результатов, полученных различными методами моделирования, представим их в виде таблицы. Таблица 2.
Из табл. 2 видно, что результаты, полученные при аналитическом моделировании СМО, попадают в доверительный интервал, полученный по результатам имитационного моделирования. Т.е., результаты, полученные разными методами, согласуются. ЗаключениеВ данной работе рассмотрены основные методы моделирования СМО и расчета показателей их эффективности. Проведено моделирование двухканальной СМО с максимальной длиной очереди равной 4 с помощью уравнений Колмогорова, а также, найдены финальные вероятности состояний системы. Рассчитаны показатели ее эффективности. Проведено имитационное моделирование работы такой СМО. На языке программирования C# составлена программа, имитирующая ее работу. Проведена серия расчетов, по результатам которых найдены значения показателей эффективности системы и выполнена их статистическая обработка. Полученные при имитационном моделировании результаты согласуются с результатами аналитического моделирования. Литература1. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Дрофа, 2004. – 208 с. 2. Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций. – М.: Изд.-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 435 с. 3. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. – М.: Изд.-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 447 с. 4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979. – 400 с. 5. Ивницкий В.Л. Теория сетей массового обслуживания. – М.: Физматлит, 2004. – 772 с. 6. Исследование операций в экономике/ под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Юнити, 2004. – 407 с. 7. Таха Х.А. Введение в исследование операций. – М.: ИД «Вильямс», 2005. – 902 с. 8. Харин Ю.С., Малюгин В.И., Кирлица В.П. и др. Основы имитационного и статистического моделирования. – Минск: Дизайн ПРО, 1997. – 288 с. |
Система с отказами 1/ед. времени, ед. времени |
Результирующие показатели |
||||||||||
Таблица 2.2. Вспомогательные расчёты для СМО с отказами
ед. стоим. |
ед. стоим. |
ед. стоим. |
ед. стоим. |
ед. стоим. |
||
Полученные расчёты позволяют сделать вывод, что наиболее оптимальным количеством каналов системы с отказами будет, так как при этом обеспечивается минимальное значение средней стоимости обслуживания одной заявки в единицу времени, экономического показателя, характеризующего систему как с точки зрения потребителя, так и с точки зрения её эксплуатационных свойств.
Рисунок 2.1. Графики результирующих показателей СМО с отказами
Значения основных показателей эффективности оптимальной СМО с отказами:
ед. времени.
Допустимое для смешенной СМО значение времени пребывания заявки в системе вычисляется по формуле 2.2.
ед. времени.
2.2 Второй этап. Смешанная система
На данном этапе изучается, соответствующая заданию, система массового обслуживания с ограничением на время пребывания в очереди. Основной задачей этого этапа является решение вопроса о возможности с введением очереди обеспечить уменьшение значения оптимального для рассматриваемой системы значения экономического показателя С и улучшить другие показатели эффективности изучаемой системы.
Задавая значения параметра (среднего времени пребывания заявки в системе), вычислим те же показатели эффективности, что и для системы с отказами. Результаты вычислений приведены в Таблица 2.3 и Таблица 2.4, а также показаны на графиках функций, приведённых на Рисунок 2.2.
Для вычисления вероятностей и основных показателей эффективности используем следующие формулы:
,
,
,
,
,
,
, . 2.3
Выполним расчеты по формулам 2.3.
Значение показателя одинаково для всех.
.
.
Вероятность того, что все каналы свободны, вычисляется по формулам:
,
, . 2.4
Вычислим несколько первых членов ряда, использую формулы 2.3:
.
.
.
.
.
Выполним остальные расчеты по формулам 2.2.
Вычислим финальные вероятности:
.
.
.
.
Среднее число свободных каналов равно:
Среднее число занятых каналов равно:
.
1/ед. времени.
Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:
1/ед. времени.
.
ед. времени.
Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:
ед. ст.
Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:
ед. ст.
Так как полученная средняя стоимость обслуживания одной заявки меньше аналогичного параметра оптимальной СМО с отказами
, следует увеличить.
Выполним расчёт показателей эффективности СМО с ограничением на время пребывания в очереди ед. времени.
.
Требуемая по заданию точность расчёта финальных вероятностей составляет 0,01. Для обеспечения данной точности достаточно вычислить приблизительную сумму бесконечного ряда с аналогичной точностью.
Для расчетов также используем формулы 2.2 и формулы 2.3.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Среднее число свободных каналов равно:
Среднее число занятых каналов равно:
канала
Вероятность обслуживания равна:
.
Абсолютная пропускная способность системы равна:
1/ед. времени.
Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:
1/ед. времени.
Коэффициент загрузки системы равен:
.
Среднее число заявок в очереди равно:
Вычислим среднее время пребывания заявки в системе, которое должно удовлетворять условию ед. времени.
ед. времени.
Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:
ед. ст.
Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:
ед. ст.
Как видно из расчётов, увеличение приводит к уменьшению средней стоимости обслуживания одной заявки. Аналогично выполним расчёты с увеличением среднего времени пребывания заявки в очереди, результаты внесём в Таблица 2.3 и Таблица 2.4, а также отобразим на Рисунок 2.2.
Таблица 2.3. Результаты расчётов для смешанной системы
Система с ограничением на время пребывания в очереди 1/ед. врем., ед. врем. |
Результирующие показатели |
||||||||||
Данные системы с отказами |
|||||||||||
Таблица 2.4. Вспомогательные расчёты для смешанной системы
К вычислению общей стоимости обслуживания заявок в единицу времени |
||||||
ед. стоим. |
ед. стоим. |
ед. стоим. |
ед. стоим. |
ед. стоим. |
||
Данные системы с отказами |
||||||
Данные системы с ограничением на время пребывания в очереди |
||||||
Полученные расчёты позволяют сделать вывод, что наиболее оптимальным средним временем пребывания заявки в очереди для системы с ограничением на время пребывания в очереди следует принять, так как при этом наименьшая средняя стоимость обслуживания одной заявки, а среднее время пребывания заявки в системе не превышает допустимого, то есть условие выполняется.
Рисунок 2.2. Графики результирующих показателей смешанной системы
Значения основных показателей эффективности оптимальной СМО с ограничением на время пребывания заявки в очереди:
ед. времени.
ед. времени.
Сравнивания показатели эффективности оптимальной системы с отказами и изучаемой оптимальной смешанной системы с ограничением на время пребывания в очереди можно заметить, кроме уменьшения средней стоимости обслуживания одной заявки, повышение загруженности системы и вероятности обслуживания заявки, что позволяет оценить исследуемую системы как более эффективную. Незначительное увеличение времени пребывания заявки в системе не влияет на оценку системы, так как ожидаемо при введении очереди.
2.3 Третий этап. Влияние производительности каналов
На этом этапе исследуем влияние производительности каналов обслуживания на эффективность системы. Производительность канала обслуживания определяется значением среднего времени обслуживания одной заявки. В качестве предмета исследования примем смешанную систему, признанную оптимальной на предыдущем этапе. Показатели эффективности этой первоначальной системы сравним с аналогичными показателями двух вариантов этой системы.
Вариант А. Система с уменьшенной производительностью каналов обслуживания за счет увеличения в два раза среднего времени обслуживания и с уменьшенными затратами, связанными с эксплуатацией и простоем оборудования.
, .
Вариант Б. Система с увеличенной производительностью каналов обслуживания за счет уменьшения в два раза среднего времени обслуживания и с увеличенными затратами, связанными с эксплуатацией и простоем оборудования.
, .
Результаты вычислений приведены в Таблица 2.5 и Таблица 2.6.
Выполним расчёт показателей эффективности СМО с уменьшенной производительностью каналов обслуживания.
ед. времени.
.
.
.
.
Вычислим вероятность того, что все каналы свободны.
Требуемая по заданию точность расчёта финальных вероятностей составляет 0,01. Для обеспечения данной точности достаточно вычислить приблизительную сумму бесконечного ряда с аналогичной точностью.
Вычислим несколько первых членов ряда:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Вычислим остальные финальные вероятности:
.
.
.
.
Среднее число свободных каналов равно:
Среднее число занятых каналов равно:
канала
Вероятность обслуживания равна:
.
Абсолютная пропускная способность системы равна:
1/ед. времени.
Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:
1/ед. времени.
Коэффициент загрузки системы равен:
.
Среднее число заявок в очереди равно:
заявки.
ед. времени.
Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:
ед. ст.
Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:
ед. ст.
Выполним расчёт показателей эффективности СМО с увеличенной производительностью каналов обслуживания.
ед. времени.
.
.
.
.
Вычислим вероятность того, что все каналы свободны.
Требуемая по заданию точность расчёта финальных вероятностей составляет 0,01. Для обеспечения данной точности достаточно вычислить приблизительную сумму бесконечного ряда с аналогичной точностью.
Вычислим несколько первых членов ряда:
.
.
.
.
.
.
Вычислим остальные финальные вероятности:
.
.
.
.
Среднее число свободных каналов равно:
Среднее число занятых каналов равно:
канала.
Вероятность обслуживания равна:
.
Абсолютная пропускная способность системы равна:
1/ед. времени.
Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:
1/ед. времени.
Коэффициент загрузки системы равен:
.
Среднее число заявок в очереди равно:
заявки.
Вычислим среднее время пребывания заявки в системе.
ед. времени.
Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:
ед. ст.
Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:
ед. ст.
Таблица 2.5. Результаты расчётов третьего этапа
Заданная смешанная система 1/ед. врем., ед. врем. |
Результирующие показатели |
|||||||||||
Первонач. вариант |
||||||||||||
Вариант А |
||||||||||||
Вариант Б |
Таблица 2.6. Вспомогательные расчёты третьего этапа
К вычислению общей стоимости обслуживания заявок в единицу времени |
|||||||
ед. стоим. |
ед. стоим. |
ед. стоим. |
ед. стоим. |
ед. стоим. |
|||
Первонач. вариант |
|||||||
Вариант А |
|||||||
Вариант Б |
Полученные результаты показывают не целесообразность увеличивать или уменьшать производительность каналов обслуживания. Так как при уменьшении производительности каналов обслуживания возрастает среднее время пребывания заявки в системе, хотя загруженность системы близка к максимальной. При увеличении производительности большая часть каналов обслуживания простаивает, но с точки зрения потребителя система эффективна, так как вероятность обслуживания близка к единице, а время пребывания заявки в системе невелико. Данный расчёт демонстрирует два варианта системы, первый из которых эффективен с точки зрения эксплуатационных свойств и не эффективен с точки зрения потребителя, а второй - наоборот.
Заключение
В ходе выполнения курсового проекта были изучены и рассмотрены система массового обслуживания с отказами и смешанная система массового обслуживания с ограничением на время пребывания в очереди, а также исследовано влияние производительности каналов обслуживания на эффективность системы, выбранной оптимальной.
Сравнивая оптимальные СМО с отказами и смешанную систему по параметрам эффективности, наилучшей следует признать смешанную систему. Так как средняя стоимость обслуживания одной заявки в смешанной системе меньше чем аналогичный параметр в СМО с отказами на 9%.
Анализируя эффективность с точки зрения эксплуатационных свойств системы, смешанная система показывает лучшие результаты по сравнению с СМО с отказами. Коэффициент загрузки и абсолютная пропускная способность смешанной системы больше на 10%, чем аналогичные параметры у СМО с отказами. С точки зрения потребителя вывод не так очевиден. Вероятность обслуживания смешанной системы выше почти на 10%, что говорит о большей эффективности смешанной системы по сравнению с СМО с отказами. Но также наблюдается увеличение времени пребывания заявки в системе на 20%, что характеризует СМО с отказами как более эффективную по данному параметру.
В результате исследований наиболее эффективной признана оптимальная смешанная система. Данная система имеет следующие преимущества перед СМО с отказами:
меньше затраты на обслуживание одной заявки;
меньше простоя каналов обслуживания, ввиду большей загруженности;
большая доходность, так как пропускная способность системы выше;
есть возможность выдержать неравномерность интенсивности поступающих заявок (увеличение нагрузки), ввиду наличия очереди.
Исследования влияния производительности каналов обслуживания на эффективность смешанной системы массового обслуживания с ограничением на время пребывания в очереди позволяют сделать вывод, что наилучшим вариантом будет исходная оптимальная смешанная система. Так как при уменьшении производительности каналов обслуживания система очень сильно «проседает» с точки зрения потребителя. Время пребывания заявки в системе увеличивается в 3,6 раза! А при увеличении производительности каналов обслуживания система настолько легко справляется с нагрузкой, что 75% времени будет простаивать, что является другой, экономически не эффективной, крайностью.
Учитывая вышеизложенное, оптимальная смешанная система является наилучшим выбором, так как демонстрирует баланс показателей эффективности с точки зрения потребителя и эксплуатационных свойств, имея при этом наилучшие экономические показатели.
Библиографи я
1 Дворецкий С.И. Моделирование систем: учебник для студ. высш. учеб. заведений / М.: Издательский центр «Академия». 2009.
2 Лабскер Л.Г. Теория массового обслуживания в экономической сфере: Учеб. пособие для вузов / М.: ЮНИТИ. 1998.
3 Самусевич Г.А. Теория массового обслуживания. Простейшие системы массового обслуживания. Методические указания по выполнению курсового проекта. / Е.: УрТИСИ СибГУТИ. 2015.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Истоки и история становления экономического анализа. Экономический анализ в условиях царской России, в послеоктябрьский период и в период перехода к рыночным отношениям. Теория массового обслуживания, ее применение и использование при принятии решений.
контрольная работа , добавлен 03.11.2010
Экономическая система в разных научных школах. Сравнительное исследование механизма функционирования разных экономических систем. Соотношение плана и рынка (аллокация ресурсов). Виды систем: современная, традиционная, плановая и смешанная (гибридная).
курсовая работа , добавлен 25.12.2014
Исследование особенностей повременной и сдельной заработной платы. Описание аккордной, контрактной и бестарифной систем оплаты труда. Бригадная форма организации труда. Анализ факторов, влияющих на заработную плату. Обзор причин неравенства в доходах.
курсовая работа , добавлен 28.10.2013
Методология сравнительного исследования экономических систем. Развитие взглядов на доиндустриальную экономическую систему. Рыночная экономика: концептуальная схема построения и реальная действительность. Модели смешанной экономики в развивающихся странах.
книга , добавлен 27.12.2009
Сущность массового типа организации производства и область его применения, основные показатели. Главные особенности применения массового типа организации производства на конкретном предприятии. Совершенствование управления массовым типом производства.
курсовая работа , добавлен 04.04.2014
Подходы к изучению экономики и экономического процесса. Хозяйственный механизм как часть экономической системы. Виды экономических систем. Капитализм, социализм и смешанная экономика в теории и на практике. Национальные модели экономических систем.
курсовая работа , добавлен 14.04.2013
Понятие экономических систем и подходы к их классификации. Основные модели развитых стран в рамках экономических систем. Основные черты и особенности шведской, американской, германской, японской, китайской и российской моделей переходной экономики.
курсовая работа , добавлен 11.03.2010
Сущность портфельного, бюджетного, проектного подходов к оценки проектов по внедрению информационных технологий в компании. Описание традиционных финансовых и вероятностных методик определения эффективности применения корпоративных информационных систем.
реферат , добавлен 06.12.2010
Понятие производственной функции и изокванты. Классификация малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Определение и использование коэффициентов прямых затрат. Использование метода теории игр в торговле. Системы массового обслуживания.
практическая работа , добавлен 04.03.2010
Понятие и классификация экономических систем, их разновидности и сравнительное описание. Сущность и главные условия существования рынка, закономерности и направления его развития. Понятие субъекта и объекта рыночной экономики, принципы управления.
Читайте: |
---|
Новое
- Гранты — средство воплощения мечты
- Как белорусские ремесленники решают проблему сбыта продукции Что можно делать ремесленнику в беларуси
- Дон Тэппинг - Бережливый офис: Устранение потерь времени и денег Бережливый офис внедрение
- Как правильно узнать о результатах собеседования: советы эксперта Как спросить работодателя о принятом решении
- Сообщение на тему начало книгопечатания
- Презентация "партизанское движение в годы вов" Интернет - источники оформления шаблона
- Программа поэтапного введения нового сотрудника в коллектив и в работу Специализированные программы адаптации включают вопросы
- Понятие капитала предприятия и его структура Чем отличается состав капитала от его структуры
- Система управления самолётом
- Личная переписка: пишем неофициальные письма на английском Фразы для начала письма на английском