Разделы сайта
Выбор редакции:
- Глава III Устройство современных дирижаблей и их данные Дирижабли в наше время
- Создание спецификаций Что такое спецификация номенклатуры в 1с
- Закупки (снабжение) и управление отношениями с поставщиками Снабжение и закупки
- И что делать, если вы уже на прицеле у инспектора
- Презентация на тему "день земли"
- Дикие животные - презентация Презентация о диких животных для школьников
- Законодательная база российской федерации
- Общероссийские классификаторы, закрепленные за минэкономразвития россии
- Реквизиты ооо Банковские реквизиты ООО
- Закон о садоводческих товариществах: что меняется и устоят ли дома
Реклама
Симметричная мозаика. Алгоритм построения мозаик Пенроуза – модели и квазикристаллы |
О существовании мозаики Пенроуза
знает далеко не каждый, а тем более о том, что эта удивительная мозаика иногда находится буквально под ногами.
Все мы, разумеется, видели кафельную плитку. Чаще всего она бывает квадратной формы. Из плиток выкладывают различные красивые узоры. Иногда используют плитки разных форм и размеров, но общий вид покрытия поверхности всё равно квадратный. Иногда плитки укладывают со сдвигом, или используют неквадратные плитки Но все эти узоры всё равно состоят из повторяющихся частей На улице Keskuskatu в Хельсинки плитки уложены так, что узор не повторяется . До 1964 г. никто не верил, что можно придумать такой набор плиток, которыми можно замостить плоскость, не повторяя узора.
В 1971 году Raphael Robinson придумал такой набор всего лишь из шести плиток, которыми можно замостить плоскость без повторений. Но вряд ли вы захотите использовать их в вашей ванной комнате. В 1973 году английский математик Roger Penrose придумал набор из шести красивых плиток. Если покрыть этими плитками даже очень большой пол, узор не повторится. Настоящая же известность пришла к Roger Penrose, когда он обнаружил, что достаточно всего двух типов плиток, чтобы создать неповторяющийся узор. Эти плитки представляют собой геометрические фигуры - ромбы, несколько отличающиеся друг от друга.
Полученное замощение имеет такой вид, как будто мозаика обладает определённым свойством симметрии, когда некоторую часть геометрического узора можно переносить параллельно, не поворачивая, и части совмещать друг с другом. На самом же деле при внимательном рассмотрении мозаики Пенроуза можно заметить, что узор не имеет периодичности, в то же время узор не является хаотичным. Симметрия геометрического узора Пенроуза называется вращательной, а строго математически, пятого порядка. В течение примерно десяти лет математическое изобретение Roger Penrose не имело прикладного значения и было известно в основном математикам. Но израильский профессор Dan Shechtman в 1984 году, изучающий физику твёрдого тела, обнаружил дифракцию того самого пятого порядка на атомной решётке алюминиево-магниевого сплава. При обсуждении этого явления учёные приняли в качестве математической модели уже известную мозаику Пенроуза. В дальнейшем выяснилось, что покрытие поверхности геометрическими фигурами без промежутков или наложений друг на друга широко применялось в исламском искусстве ещё в средние века. В Азии мозаичными геометрическими орнаментами покрывали мечети. В старинных манускриптах найдены схемы, свидетельствующие о том, что узоры, украшающие стены не являются хаотичными, а состоят из определённых фигур, расположенных в строгом порядке. Поскольку исламское искусство находилось под запретом изображения животных или человека, то древние мастера украшали храмы геометрическими орнаментами.
Ниже я предлагаю для просмотра фотографии плиточного покрытия мозаикой Пенроуза пешеходной улицы Keskuskatu в Хельсинки. Поверхность покрыта плитками без промежутков или наложений, при этом узор нигде не повторяется . Участники проектаНикифоров Кирилл, ученик 8 класса Руднева Оксана, ученица 8 класса Потураева Ксения, ученица 8 класса Тема исследованияМозаика Пенроуза Проблемный вопросЧто такое мозаика Пенроуза? Гипотеза исследованияСуществует непериодическое замощение плоскости Цели исследованияПознакомится с мозаикой Пенроуза и узнать почему она называется "золотой" мозаикой Полученные результатыМозаика Пенроуза Замощение плоскости – это покрытие всей плоскости неперекрывающимися фигурами. В математике задача сплошного заполнения плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий называется паркетами или мозаикой. Вероятно, впервые интерес к замощению возник в связи с построением мозаик, орнаментов и других узоров. Еще древним грекам было известно, что эта задача легко решается при покрытии плоскости правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками. Такое замощение плоскости называется периодическим. Позже научились выполнять замощение используя комбинацию нескольких правильных многоугольников. Более сложной задачей было создание не совсем "правильного" или "почти" периодического паркета. Долгое время считалось, что эта задача не имеет решения. Однако в 60-х годах прошлого столетия она все же была решена, но для этого понадобился набор из тысяч многоугольников различных видов. Шаг за шагом число видов удавалось уменьшить, и, наконец, в середине 1970-х годов профессор Оксфордского университета Роджер Пенроуз, выдающийся учёный современности, активно работающий в различных областях математики и физики, решил задачу, используя всего два вида ромбов. Роджер Пенроуз Мы исследовали метод построения такой мозаики, которая теперь и называется мозаикой Пенроуза. Для этого в правильном пятиугольнике (пентагоне) проведем диагонали. Получим - новый пентагон и два вида равнобедренных треугольников, которые называют «золотыми». Отношение бедра к основанию в таких треугольниках равно «золотой» пропорции. Углы в треугольниках равны 36°, 72° и 72° в одном и 108°, 36° и 36° в другом. Соединим по два одинаковых треугольника и получим «золотые» ромбы. Их и использовал учёный в конструировании паркета, а сам паркет назвали "золотым". Мозаика Пенроуза Мозаика Пенроуза обладает свойствами: 1. отношение числа тонких ромбов к числу толстых оказывается всегда равно так называемому "золотому" числу 1,618... Позор! Люди Средневековья переплюнули современных учёных. Мы-то думали, что продвинутая математика и кристаллография – наши достижения. Оказывается, ничего подобного – всё это было уже полтысячи лет назад. К тому же современную науку, похоже, перегнали не лучшие математики, а простые художники. Ну, может, и не очень простые… Но всё-таки! Нет, ну в самом деле — современные математики занимаются сплошной ерундой! То бумагу складывают по 12 раз , то вяжут крючком уравнения Лоренца, то выкручивают мячики в пончики . В общем, из серьёзных людей остались лишь Перельман да Окуньков — на них вся надежда… А ведь интересно, что математические достижения люди совершали и в древности, порой совершенно не придавая им особенного значения. Занятно также, что те же «старинные» открытия учёные повторяют в наши дни, ничуть при этом не подозревая, что выдумывают нечто, существующее без их догадок не одно столетие. Вот, скажем, английский математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) придумал в 1973 году такую штуку – особенную мозаику из геометрических фигур. Называться она стала, соответственно, мозаикой Пенроуза. Чего же в ней такого специфического? Мозаика Пенроуза в версии её создателя. Она собрана из ромбов двух типов, один – с углом 72 градуса, другой – с углом 36 градусов. Картина из неё получается симметричная, но не периодичная (иллюстрация с сайта en.wikipedia.org). Мозаика Пенроуза представляет собой узор, собранный из многоугольных плиток двух определённых форм (немного различающихся ромбов). Ими можно замостить бесконечную плоскость без пробелов. Получающееся изображение выглядит так, будто является неким «ритмическим» орнаментом – картинкой, обладающей трансляционной симметрией. Такой тип симметрии означает, что в узоре можно выбрать определённый кусочек, который можно «копировать» на плоскости, а затем совмещать эти «дубликаты» друг с другом параллельным переносом (проще говоря, без поворота и без увеличения). Однако, если присмотреться, можно узреть, что в узоре Пенроуза нет таких повторяющихся структур – он апериодичен. Но дело отнюдь не в оптическом обмане, а в том, что мозаика не хаотична: она обладает вращательной симметрией пятого порядка. Примеры квазикисталлов – сплав AlMnPd и Al 60 Li 30 Cu 10 (иллюстрация Paul J. Steinhardt). Это значит, что изображение можно поворачивать на минимальный угол, равный 360 / n градусам, где n – порядок симметрии, в данном случае n = 5. Следовательно, угол поворота, который ничего не меняет, должен быть кратен 360 / 5 = 72 градусам. Примерно десятилетие выдумка Пенроуза считалась не более чем милой математической абстракцией. Однако в 1984 году Дэн Шехтман (Dan Shechtman), профессор израильского технологического института (Technion), занимаясь изучением строения алюминиево-магниевого сплава, обнаружил, что на атомной решётке этого вещества происходит дифракция. Предыдущие представления, существовавшие в физике твёрдого тела, исключали такую возможность: структура дифракционной картины обладает симметрией пятого порядка. Её части нельзя совмещать параллельным переносом, а значит, это вовсе никакой не кристалл. Но дифракция характерна как раз для кристаллической решётки! Как тут быть? Вопрос непростой, поэтому учёные договорились о том, что данный вариант будет назваться квазикристаллами – чем-то вроде особого состояния вещества. Здесь показан один из образцов выкладки плитки, показанный в арабском манускрипте XV века. Цветами исследователи выделили повторяющиеся области. На основе этих пяти элементов выстроены все геометрические узоры средневековых арабских мастеров, изученные Лу и Стейнхардтом. Как видите, повторяющиеся элементы не обязательно совпадают с границами плиток (иллюстрация Peter J. Lu). Ну а вся красота открытия, как вы догадались, в том, что для него уже давно готова математическая модель. И, как вы наверное поняли, это мозаика Пенроуза. Вот только ей этой вовсе не десять лет, а гораздо больше. Это стало известно лишь в наши дни, на заре XXI века, и модель эта оказалась намного древнее, чем можно было себе представить. В 2007 году Питер Лу (Peter J. Lu), физик из Гарварда (Harvard University) за компанию с другим физиком — Полом Стейнхардтом (Paul J. Steinhardt), но из Принстона (Princeton University), — опубликовал в Science статью, посвящённую мозаикам Пенроуза (Лу должен быть известен постоянным читателям «Мембраны» – мы уже рассказывали о его открытиях алмазной обработки древних топоров и сложнейших старинных машин). Казалось бы, неожиданного тут немного: открытие квазикристаллов привлекло живой интерес к данной теме, что привело к появлению кучи публикаций в научной прессе. Однако изюминка работы в том, что она посвящена далеко не современной науке. Да и вообще - не науке. «Квазикристаллические» узоры нашли своё место не только в архитектуре. Здесь вы видите обложку Корана 1306-1315 годов и прорисовку геометрических фрагментов, на которых основан узор. Этот и следующий примеры не соответствуют решёткам Пенроуза, но обладают вращательной симметрией пятого порядка (иллюстрация Peter J. Lu). Лу обратил внимание на узоры, покрывающие мечети в Азии, построенные ещё в Средневековье. Эти легко узнаваемые рисунки сделаны из мозаичной плитки. Они называются гирихи (от арабского слова «узел») и представляют собой геометрический орнамент, характерный для исламского искусства и состоящий из многоугольных фигур. Долгое время считалось, что эти узоры создавались с помощью линейки и циркуля. Однако пару лет назад, находясь во время путешествия в Узбекистане, Лу заинтересовался узорами мозаик, украшавшими местную средневековую архитектуру, и приметил в них что-то знакомое. Вернувшись в Гарвард, учёный стал рассматривать аналогичные мотивы в мозаиках на стенах средневековых построек Афганистана, Ирана, Ирака и Турции. Он обнаружил, что эти схемы практически одинаковы, и смог выделить основные элементы гирихов, использовавшихся во всех геометрических орнаментах. Кроме того, он нашёл чертежи этих изображений в старинных манускриптах, которыми древние художники пользовались в качестве своеобразной шпаргалки по украшению стен. Но это всё, оказывается, не так уж важно. Для создания этих узоров применяли не простые, случайно придуманные контуры, а фигуры, которые были расположены в определённом порядке. И это не особенно удивительно. А действительно интересно то, что, забыв про подобные схемы, люди снова встретились с ними позже. Да-да, древние узоры – не что иное, как то, что спустя столетия назовут решётками Пенроуза и найдут в структуре квазикристаллов! На этих снимках выделены одинаковые области, хотя это и фотографии из самых разных мечетей (иллюстрация Peter J. Lu). В исламской традиции существовал строгий запрет на изображение людей и животных, поэтому в оформлении зданий большую популярность приобрёл геометрический орнамент. Средневековые мастера умудрялись как-то делать его разнообразным. Но в чём был секрет их «стратегии» – никто не знал. Так вот, секрет как раз оказывается в использовании специальных мозаик, которые могут, оставаясь симметричными, заполнять плоскость, не повторяясь. Другой «фокус» этих изображений в том, что, «копируя» такие схемы в различных храмах по чертежам, художники неизбежно должны были бы допустить искажения. Но нарушения данного характера минимальны. Объясняется это только тем, что в масштабных чертежах смысла не была: главное – принцип, по которому строить картину. Для сборки гирихов применяли плитки пяти видов (десяти- и пятиугольные ромбы и «бабочки»), которые в мозаике составлялись, прилегая друг к другу без свободного пространства между ними. Мозаики созданные из них, могли обладать как сразу вращательной и трансляционной симметрией, так и только вращательной симметрией пятого порядка (то есть являлись мозаиками Пенроуза). Фрагмент орнамента иранского мавзолея 1304 года. Справа – реконструкция гирихов (иллюстрация Peter J. Lu). Исследовав сотни фотографий средневековых мусульманских достопримечательностей, Лу со Стейнхардтом смогли датировать появление подобной тенденции XIII веком. Постепенно этот способ приобретал всё большую популярность и к XV веку стал широко распространённым. Образцом почти идеальной квазикристаллической структуры исследователи посчитали святилище имама Дарб-и в иранском городе Исфахане, датируемое 1453 годом. Это открытие впечатлило очень многих. Американская ассоциация содействия развитию науки (
Алгоритм построения мозаик Пенроуза – модели и квазикристаллы
А. Г. и, Педагогический институт, Квазикристаллы представляют собой сравнительно недавно открытый вид твердых тел, промежуточный между кристаллами и аморфными телами. Их возникновение связано с экспериментально обнаруженными в 1982 г. веществами, дающими дифракционную картину с фунциональными брэгговскими пиками, и симметрией, не совместимой с трансляционной решеткой . За их открытие израильский физик и химик Дан Шехтман в 2011 году получил нобелевскую премию. В качестве математических моделей квазикристаллов обычно выступают непериодические точечные системы, обладающие дальним порядком. Такие математические квазикристаллы, в отличие от физических, могут быть определены в любой размерности. Двумерной моделью квазикристалла является мозаика Пенроуза, изучавшаяся математиками еще до открытия квазикристаллов. Мозаика Пенроуза не является периодическим разбиением, так как не переходит в себя ни какими параллельными переносами - трансляциями. Однако в ней существует строгий порядок, определяемый алгоритмом построения этого разбиения. Существует множество подходов к определению математических квазикристаллов. Наиболее известным является подход, основанный на проектировании решеток из пространств более высокой размерности в меньшую размерность, который получил название “model sets”. Применительно к мозаике Пенроуза данный подход называется методом Бааки . Данный метод наиболее удобен для изучения и анализа дифракционной картины квазикристаллов как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения компьютерных алгоритмов. На основе данного анализа можно делать последующие выводы о свойствах квазикристаллов. Для анализа свойств мозаики Пенроуза нами была написана компьютерная программа по алгоритму Бааки, согласно которому определяются окно https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51 height=24" height="24">.gif" width="104" height="24">, где . Множества https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif" width="61" height="24">, , , , , где - золотое сечение. Тогда проекции точек на модельное множество будут следующими: и где https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif" width="23" height="20">..gif" width="121" height="23">. Вершины соединены ребром тогда, когда расстояние между ними равно 1. Таким образом строится мозаика Пенроуза по вышеприведенному алгоритму. Нами обнаружено, что метод Бааки не совсем точен и полученное разбиение не является в точности разбиением Пенроуза, так как появляются «лишние» вершины и ребра разбиения. Оказалось, что данная конструкция верна с точностью до вершин и границ пятиугольников . С помощью компьютерного эксперимента удалось получить уточнение метода Бааки, в результате чего получилась мозаика Пенроуза (рис.1): Рис.1 Мозаика Пенроуза, полученная с помощью модификации алгоритма Бааки Описанный выше способ построения мозаики Пенроуза называют слабой параметризацией мозаики Пенроуза. Существует и другой способ построения - сильная параметризация вершин разбиения, где можно получать параметры соседних вершин по параметру данной вершины. Все множество параметров разбивается на многоугольники, в каждом из которых однозначно определены первое локальное окружение точки, а также звезда, состоящая из векторов, соединяющих точку с соседними точками. И древниеисламские узоры Презентацию выполнила ученица 7Б класса ЦО №1679 Жердер Марина. Руководители проекта Синюкова Е.В. и Жердер В.М. 5klass.net Что такое мозаикаМозаика представляетсобой узор, собранный из плиток разных форм. Ими можно замостить бесконечную плоскость без пробелов.Периодическая мозаика-это мозаика, рисунок которой повторяется через равные промежутки. Непериодическая мозаика-это мозаика, рисунок которой может повторяться через неравные промежутки. Мозаики в природеВ природе также много примеровпериодической мозаики. В основном это кристаллы твёрдых веществ - например: Кристалл соли Кристалл алмаза Кристалл графита Кристалл графена Мозаики в картинах ЭшераМозаики - важная тема вискусстве. Художник М.К.Эшер известен своими мозаиками и не реальными картинами. Что же такое мозаика Пенроуза?В 1973 годуанглийский математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) создал особенную мозаику из геометрических фигур, которая так и стала называться мозаикой Пенроуза. Многоугольные плиты мозаикиМозаика Пенроуза представляет собоймозаику, собранную из многоугольных плиток двух определённых форм. Симметрия мозаикиПолучающееся изображение выглядиттак, будто является неким "ритмическим" орнаментом – картинкой, обладающей трансляционной симметрией. СимметрияТрансляционная симметрия означает,что в узоре можно выбрать определённый кусочек, который можно "копировать" на плоскости, а затем совмещать эти "дубликаты" друг с другом параллельным переносом. 10. Структура МозаикОднако, если присмотреться, можноувидеть, что в узоре Пенроуза нет таких повторяющихся структур – он непериодичен. Но дело отнюдь не в оптическом обмане, а в том, что мозаика не хаотична: она обладает вращательной симметрией пятого порядка. 11. Минимальный уголЭто значит, чтоизображение можно поворачивать на минимальный угол, равный 360 / n градусам, где n – порядок симметрии, в данном случае n = 5. Следовательно, угол поворота, который ничего не меняет, должен быть кратен 360 / 5 = 72 градусам. 12. Необычное явлениеВ 1984 году ДэнШехтман занимаясь изучением строения алюминиевомагниевого сплава, обнаружил, что на атомной решётке этого вещества происходит необычное для кристаллов физическое явление. 13. «Неправильные» кристаллыОбразец вещества, подвергнутыйспециальному методу быстрого охлаждения, рассеивал пучок электронов так, что на фотопластинке образовывалась ярко выраженная дифракционная картина с симметрией пятого порядка в расположении дифракционных максимумов (симметрия икосаэдра). 14. КвазикристаллыУчёные договорились отом, что данный вариант будет назваться квазикристаллами – чем-то вроде особого состояния вещества. И для него уже давно была готова математическая модель - мозаика Пенроуза. 15.Публикация 2007годаВ 2007 году физики Питер Лу и Пол Стейнхардт опубликовали в журнал Science статью, посвящённую мозаикам Пенроуза. 16. Интерес к квазикристаламКазалось бы,неожиданного тут немного: открытие квазикристаллов привлекло живой интерес к данной теме, что привело к появлению кучи публикаций в научной прессе. 17. Узоры в АзииОднако изюминка работы в том, что онапосвящена далеко не современной науке. Да и вообще - не науке. Питер Лу обратил внимание на узоры, покрывающие мечети в Азии, построенные ещё в Средневековье. 18.Стили. ГирихВ исламском орнаменте выделяют два стиля: Гирих (перс.) – сложный геометрический орнамент, составленный из стилизованных в прямоугольные и полигональные фигуры линий. В большинстве случаев используется для внешнего оформления мечетей и книг в крупном издании. 19. ИслимиИслими (перс.) – вид орнамента,построенного на соединении вьюнка и спирали. Воплощает в стилизованной или натуралистической форме идею непрерывно развивающегося цветущего лиственного побега. Наибольшее распространение он получил в одежде, книгах, внутренней отделке мечетей, посуде. 20. Мозаики УзбекистанаНаходясь во время путешествия вУзбекистане, Лу заинтересовался узорами мозаик, украшавшими местную средневековую архитектуру, и приметил в них что-то знакомое. Обложка Корана 13061315 годов и прорисовка геометрических фрагментов, на которых основан узор. 21. Мозаики разных странВернувшись вГарвард, учёный стал рассматривать аналогичные мотивы в мозаиках на стенах средневековых построек Афганистана, Ирана, Ирака и Турции. 22. Исламские мозаикиЭтот образец датирован более позднимпериодом – 1622 год (индийская мечеть). 23. Схемы гириховПитер Лу обнаружил, что геометрическиесхемы гирихов практически одинаковы, и смог выделить основные элементы, использовавшихся во всех геометрических орнаментах. Кроме того, он нашёл чертежи этих изображений в старинных манускриптах, которыми древние художники пользовались в качестве своеобразной шпаргалки по украшению стен. 24. Порядок построенияДля создания этих узоров применяли непростые, случайно придуманные контуры, а фигуры, которые были расположены в определённом порядке. Древние узоры оказались точными построениями мозаик Пенроуза! 25.Исламские традицииВ исламской традиции существовал строгий запрет на изображение людей и животных, поэтому в оформлении зданий большую популярность приобрёл геометрический орнамент. 26. Секрет древних мастеровСредневековые мастераделали его разнообразным. Но в чём был секрет их "стратегии" – никто не знал. Так вот, секрет как раз оказывается в использовании специальных мозаик, которые могут, оставаясь симметричными, заполнять плоскость, не повторяясь. 27. «фокус»Другой "фокус" этих«фокус» изображений в том, что, "копируя" такие схемы в различных храмах по чертежам, художники неизбежно должны были бы допустить искажения. Но нарушения данного характера минимальны. Объясняется это только тем, что мастера не использовали чертежей при построении мозаики. 28. ПлиткиДля сборки гириховприменяли плитки пяти видов (десяти- и пятиугольные ромбы и "бабочки"), которые в мозаике составлялись, прилегая друг к другу без свободного пространства между ними. 29. Симметрия мозаикМозаики созданные из них,могли обладать как сразу вращательной и трансляционной симметрией, так и только вращательной симметрией пятого порядка (то есть являлись мозаиками Пенроуза). 30. ГирихиФрагмент орнамента иранского мавзолея1304 года. Справа – реконструкция гирихов 31. Дата появления мозаикИсследовав сотниДата появления фотографий мозаик средневековых Мусульманских достопримечательностей, Лу со Стейнхардтом смогли датировать появление подобной тенденции XIII веком. Постепенно этот способ приобретал всё большую популярность и к XV веку стал широко распространённым. 32. Керамическая плиткаДатировка примерносовпадает с периодом развития техники декорирования дворцов, мечетей, различных важных зданий глазурованной цветной керамической плиткой в форме различных многоугольников. То есть керамическую плитку специальных форм создавали именно для гирихов. Керамическая плитка 33. ЗаключениеТо, что удалось открыть западной наукена основе огромного обобщения тернистого опыта, восточная наука сделала на основе интуиции и чувства прекрасного. И результаты налицо: в воплощении законов геометрии в практику восточные мыслители опередили западных на пять столетий! |
Читайте: |
---|
Новое
- Создание спецификаций Что такое спецификация номенклатуры в 1с
- Закупки (снабжение) и управление отношениями с поставщиками Снабжение и закупки
- И что делать, если вы уже на прицеле у инспектора
- Презентация на тему "день земли"
- Дикие животные - презентация Презентация о диких животных для школьников
- Законодательная база российской федерации
- Общероссийские классификаторы, закрепленные за минэкономразвития россии
- Реквизиты ооо Банковские реквизиты ООО
- Закон о садоводческих товариществах: что меняется и устоят ли дома
- Задачи по теории вероятностей с решениями