Разделы сайта
Выбор редакции:
- Стихотворения о родине Читать п воронько мальчик журавли
- Журнал «Телесемь»: уж замуж невтерпеж
- Презентация на тему моя семья по английскому языку Uncle - дядя
- Сколько товаров можно приобрести на AliExpress, чтобы избежать уплаты таможенной пошлины Таможенные пошлины на ввоз товаров
- Договор оказания услуг образец (типовая форма)
- Должностная инструкция директора по операционной деятельности Операционный директор и исполнительный директор - разница
- «Клиенты на всю жизнь» Карл Сьюэлл, Пол Браун
- График производства работ
- Внешняя и внутренняя мотивация: определение, особенности формирования и факторы Мотивирующие факторы
- Глава III Устройство современных дирижаблей и их данные Дирижабли в наше время
Реклама
Учебное пособие: Планирование эксперимента. Планирование эксперимента Планирование физического эксперимента и его анализ |
Выше всех умозрительных знаний и искусств стоит умение производить опыты, и эта наука есть царица наук. Р. Бэкон Планирование эксперимента - это процесс выбора условий, процедуры и методов проведения опытов, их числа и условий, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Требования к планированию эксперимента:
План проведения эксперимента должен включать следующие разделы:
Цель и задачи эксперимента - исходный пункт плана. Они формулируются на основе анализа научной гипотезы, теоретических результатов собственного исследования либо исследований других авторов. Цель определяет конечный результат эксперимента, т. е. то, что исследователь должен получить в итоге. Например, подтвердить правильные научные гипотезы; проверить на практике адекватность, работоспособность и практическую пригодность моделей, методик; определить оптимальные условия технологического процесса и т. п. В различных условиях цели требуют разных затрат, средств и методов измерения, времени эксперимента, отражаются на методике его проведения. Эти пункты плана будут различными, например, в условия лабораторного, полевого и производственного экспериментов. Задачи эксперимента определяют частные цели, с помощью которых может быть достигнута конечная цель либо пути ее достижения. Например, определение оптимальных показателей температуры и давления при изготовлении фулиреновых нанотрубок; установление оптимального соотношения исходных материалов; обоснование скорости протекания технологического процесса и др. Частными задачами эксперимента при его планировании могут быть:
Частные задачи эксперимента могут иметь несколько уровней, т. е. древовидную форму. Рекомендуется формулировать 2-4 сложные задачи и 10-15 более простых задач. Формулирование условий проведении эксперимента - параметра оптимизации и варьируемых факторов. Величина, описывающая результат проведенного эксперимента, называется параметром оптимизации (откликом) системы на воздействие. Множество значений, которые принимает параметр оптимизации, называется областью его определения. Параметр оптимизации должен быть количественным, задаваться числом и быть измеримым при любом фиксированном наборе уровней факторов. Он обязан характеризоваться однозначно, т. е. заданному набору уровней факторов должно соответствовать, с точностью ошибки эксперимента, одно значение параметра оптимизации. Параметр оптимизации должен всесторонне характеризовать объект исследования, удовлетворять требованию универсальности и полноты. Он должен иметь физический смысл, чтобы обеспечить последующую интерпретацию результатов эксперимента, быть простым и легко вычисляемым. Параметр оптимизации (отклик) зависит от факторов, влияющих на эксперимент. Фактор (лат .factor - производящий) - причина какого-либо процесса, явления, определяющая его влияние на объект исследования, его характер или отдельные черты. Это измеряемая величина, и каждое значение, которое может принимать фактор, называется уровнем фактора. Каждый фактор в эксперименте может принимать одно из нескольких значений. Фиксированный набор уровней нескольких факторов будет определять какие-то конкретные условия проведения эксперимента. Изменение хотя бы одного из факторов приводит к изменению и условий, и, как следствие, к изменению значения параметра оптимизации. Варьируемые факторы в многофакторном эксперименте определяют цели и условия исследования. Например, факторами в эксперименте по поиску оптимальных условий при производстве наноматериалов могут быть: температура, время воздействия, количество окисла и т. п. Большое количество факторов делает эксперимент очень сложным и требует довольно много времени. Поэтому весьма важным при планировании эксперимента является сокращение числа факторов и выбор наиболее существенных. При этом можно руководствоваться принципом Парето, в соответствии с которым 20 % факторов определяют 80 % свойств системы. Значимость факторов может быть определена опытным или аналитическим путем. В первом случае - проводится ограниченный эксперимент. При этом один фактор изменяется, а остальные нет, и т. д. Ранжирование «значимых» факторов осуществляется по силе их влияния на результат эксперимента. Те факторы, изменение которых сильнее отражается на конечном результате, считаются более важными. «Несущественными» факторами можно пренебречь. Если факторов много, этот путь неэффективен, тогда используется аналитический путь, основанный на методах факторного анализа. Если факторы зависимы, их можно рассчитать с помощью метода топологической декомпозиции и структуры по их влиянию на конечную цель. Задача определения рангов факторов заключается в выделении наиболее связной части графа. Она решается поэтапно. Сначала определяются «достижимые множества» для каждой вершины графа (для каждого фактора). Затем определяются «контрдостижимые множества», каждое из которых включает все вершины, имеющие путь в вершину. В завершении определяют наиболее существенные вершины графа, составляющие сильно связанный граф. Самые существенные факторы оставляют, остальные отбрасывают. Важнейшим требованием эксперимента является управляемость факторов, а экспериментатор должен иметь возможность выбрать нужное значение фактора и поддерживать его постоянным на протяжении всего эксперимента. Фактор также должен быть операциональным, чтобы его можно было указать последовательностью операций, необходимых для задания того или иного значения. Формализуя условия проведения эксперимента, важно также определиться с областью его проведения. Для этого необходимо оценить границы областей определения факторов. Здесь возможны ограничения нескольких типов: которые не могут быть нарушены ни при каких условиях (например, температура нс может оказаться ниже абсолютного нуля); техникоэкономические ограничения (например, стоимость оборудования или продолжительность исследуемого процесса); конкретные условия процесса. Под моделью эксперимента обычно понимают модель черного ящика, в которой используется функция отклика, устанавливающая зависимость между параметром оптимизации и факторами: у = f(x y X 2 > ...,Jc n). Выбрать модель - значит выбрать вид этой функции и записать ее уравнение. Тогда останется только провести эксперимент по вычислению численных коэффициентов данной модели. Главное требование к модели эксперимента - способность предсказывать дальнейшее направление опытов с требуемой точностью. Среди всех возможных адекватных моделей необходимо выбирать ту, которая представляется наиболее простой. Наиболее часто в планировании эксперимента выбирают полиномиальные модели первой (линейный) или второй степени: Методика проведения эксперимента - ключевая часть плана эксперимента. Она включает:
При разработке методики важно правильно обосновать количество опытов, которое гарантирует требуемую точность результата, а с другой стороны - не ведет к неоправда!тому перерасходу средств и времени на избыточные испытания. При более чем десяти испытаниях обоснование количества опытов может быть осуществлено на основе неравенства Чебышева: где X - среднее значение случайно измеряемой величины; М{х) - математическое ожидание величины; е - требуемая точность результата; D(x) - дисперсия величины х, рассчитанная по результатам N проведенных опытов. Неравенство можно сформулировать следующим образом: «вероятность того, что разность между математическим ожиданием и среднестатистическим значением случайной величины X не превысит требуемую точность результата - е, равна разности между единицей и отношением D(x): Ne 2 ». В неравенстве три неизвестных: N и статистические характеристики, зависящие от N. Поэтому процесс расчета N является итеративным. Если неравенство выполняется, то количество опытов достаточно. В противном случае количество опытов увеличивается. Достаточное количество наблюдений (опытов) может быть определено при помощи таблицы достаточно больших чисел (табл. 8.1). Она показывает, что достаточное количество наблюдений зависит от степени уверенности в результатах эксперимента (доверительной вероятности), величины допустимой ошибки (доверительного интервала). Иными словами, степень уверенности определяется величиной вероятности, с которой делается соответствующее заключение . Относительно выбора величины вероятности Р нет какого-либо общего решения, одинакового при всех исследованиях. Чем ближе к единице будет величина рассматриваемой вероятности, тем надежнее будет заключение. В практике научных исследований доверительная вероятность обычно принимается Р = 0,9-0,99. Требуемая точность при исследованиях устанавливается в зависимости от природы изучаемого явления. В большинстве случаев требуемая точность принимается равной е = 0,01-0,05. Например, если величина доверительной вероятности принята равной Р = 0,95, а допустимая ошибка равна е = 0,05, то достаточное число наблюдений в ходе эксперимента будет равно 384. Другой важной составляющей плана эксперимента является обоснование средств и методики измерений. Она предполагает выбор измерительных приборов, аппаратуры и оборудования, позволяет фиксировать данные эксперимента; преобразовывать их к удобному виду; хранить, обеспечивать выдачу по запросам и т. п. Система измерений должна формироваться с учетом требований метрологии науки о методах и средствах измерений, выборе единиц, шкал и систем измерений; проблемах точности измерений. Методы измерений, которые могут быть применены в различных экспериментах, рассмотрены в предыдущей главе. Эти методы измерения могут быть сведены в две группы: прямых (искомая величина измеряется непосредственно в ходе эксперимента) и косвенных измерений (искомая величина, полученная на основе результатов прямых измерений). Кроме того, по признаку единиц измерений различают абсолютные измерения, проводимые в единицах исследуемой величины, и относигельные измерения, предполагающие фиксацию отношения измеряемой величины к ее некоторому предельному значению. Рассмотренные основы организации и проведения эксперимента носят лишь обзорный характер, а сущность, содержание, условия применения вышеизложенных рекомендаций и последовательность использования того или иного метода проведения эксперимента требуют более детального изучения. Кроме того, следует четко понимать, что каждый метод проведения эксперимента будет иметь и свои особенности в зависимости от объекта исследования. Планирование эксперимента - один из важнейших этапов организации психологического исследования, на котором исследователь пытается сконструировать наиболее оптимальную для воплощения на практике модель (то есть план) эксперимента. Грамотно составленная схема исследования, план, позволяет добиться оптимальных значений валидности, надёжности и точности в исследовании, предусмотреть нюансы, за которыми сложно уследить при бытовом «спонтанном экспериментировании». Зачастую, чтобы скорректировать план, экспериментаторы проводят так называемое пилотажное, или пробное, исследование, которое можно рассматривать как «черновик» будущего научного эксперимента. · количестве независимых переменных, которые используются в эксперименте (одна или несколько?); · количестве уровней независимой переменной (изменяется ли независимая переменная или остаётся постоянной?); · методах контроля дополнительных, или возмущающих, переменных (какие необходимо и целесообразно применить?): o метод прямого контроля (прямое исключение известной дополнительной переменной), · Сравнение двух групп · Одномерное исследование · Корреляционное исследование попарно эквивалентных групп · Многомерное корреляционное исследование · Структурное корреляционное исследование · Лонгитюдное корреляционное исследование* Планирование включает в себя два этапа. Формальное планирование эксперимента Содержательное планирование эксперимента Факторное планирование эксперимента Психофизика. Методы измерения порогов чувствительности Психофизические законы. Бугера - Вебера, Вебера - Фехнера, Стивенса, обобщённый психофизический закон Психофизическое шкалирование Под экспериментом будем понимать совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент. Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. Можно получить хорошо аппроксимирующую математическую модель, если целенаправленно применяется активный эксперимент. Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение. Опыт – это отдельная экспериментальная часть. План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов. Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления. В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами. Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности. Пусть интересующее нас свойство (Y) объекта зависит от нескольких (n) независимых переменных (Х1, Х2, …, Хn) и мы хотим выяснить характер этой зависимости - Y=F(Х1, Х2, …, Хn), о которой мы имеем лишь общее представление. Величина Y – называется “отклик”, а сама зависимость Y=F(Х1,Х2, …, Хn) – “функция отклика”. Отклик должен быть определен количественно. Однако могут встречаться и качественные признаки Y. В этом случае возможно применение рангового подхода. Пример рангового подхода - оценка на экзамене, когда одним числом оценивается сложный комплекс полученных сведений о знаниях студента. Независимые переменные Х1, Х2, …, Хn – иначе факторы, также должны иметь количественную оценку. Если используются качественные факторы, то каждому их уровню должно быть присвоено какое-либо число. Важно выбирать в качестве факторов лишь независимые переменные, т.е. только те которые можно изменять, не затрагивая другие факторы. Факторы должны быть однозначными. Для построения эффективной математической модели целесообразно провести предварительный анализ значимости факторов (степени влияния на функцию), их ранжирование и исключить малозначащие факторы. Диапазоны изменения факторов задают область определения Y. Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то полученное пространство называется факторным пространством. При n=2 область определения Y представляется собой прямоугольник, при n=3 – куб, при n >3 - гиперкуб. При выборе диапазонов изменения факторов нужно учитывать их совместимость, т.е. контролировать, чтобы в этих диапазонах любые сочетания факторов были бы реализуемы в опытах и не приводили бы к абсурду. Для каждого из факторов указывают граничные значения , i=1,... n.Регрессионный анализ функции отклика предназначен для получения ее математической модели в виде уравнения регрессии ,где В1, …, Вm – некоторые коэффициенты; е – погрешность. Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют: планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению; планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами; планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные); планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования; планирование при изучении динамических процессов и т.д. Инициатором применения планирования эксперимента является Рональд А. Фишер, другой автор известных первых работ – Френк Йетс. Далее идеи планирования эксперимента формировались в трудах Дж. Бокса, Дж. Кифера. В нашей стране - в трудах Г.К. Круга, Е.В. Маркова и др. В настоящее время методы планирования эксперимента заложены в специализированных пакетах, широко представленных на рынке программных продуктов, например: StatGrapfics, Statistica, SPSS, SYSTAT и др. Представление результатов экспериментов При использовании методов планирования эксперимента необходимо найти ответы на 4 вопроса: Какие сочетания факторов и сколько таких сочетаний необходимо взять для определения функции отклика? Как найти коэффициенты В0, В1, …, Bm? Как оценить точность представления функции отклика? Как использовать полученное представление для поиска оптимальных значений Y? Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве Х1, Х2, …, Хn называется поверхностью отклика (рис. 1). Рис. 1. Поверхность отклика Если исследуется влияние на Y лишь одного фактора Х1, то нахождение функции отклика - достаточно простая задача. Задавшись несколькими значениями этого фактора, в результате опытов получаем соответствующие значения Y и график Y =F(X) (рис. 2). Рис. 2. Построение функции отклика одной переменной по опытным данным По его виду можно подобрать математическое выражение функции отклика. Если мы не уверены, что опыты хорошо воспроизводятся, то обычно опыты повторяют несколько раз и получают зависимость с учетом разброса опытных данных. Если факторов два, то необходимо провести опыты при разных соотношениях этих факторов. Полученную функцию отклика в 3х-мерном пространстве (рис. 1) можно анализировать, проводя ряд сечений с фиксированными значениями одного из факторов (рис. 3). Вычлененные графики сечений можно аппроксимировать совокупностью математических выражений. Рис. 3. Сечения поверхности отклика при фиксированных откликах (а) и переменных (б,в). При трех и более факторах задача становится практически неразрешимой. Если и будут найдены решения, то использовать совокупность выражений достаточно трудно, а часто и не реально. Например, пусть необходимо исследовать влияние U, f и Rr на Мп и P2 асинхронного двигателя (АД) (рис. 4). Рис. 4. Исследование влияния U, f и Rr на Мп и P2 АД Если в диапазоне изменения каждого фактора взять хотя бы по пять точек то для того чтобы выполнить опыты при всех возможных сочетаниях значений факторов (их три) необходимо выполнить 53=125 опытов и сформировать по 52=25 кривых для каждой из двух функций отклика. Если мы хотим хотя бы продублировать опыты чтобы снизить погрешность, то число опытов пропорционально возрастает, поэтому произвольное выполнение опытов при числе факторов более двух и использование их результатов - практически нереально. Лекция 2. Разложение функции отклика в степенной ряд, кодирование факторов Если заранее не известно аналитическое выражение функции отклика, то можно рассматривать не саму функцию, а ее разложение, например в степенной ряд в виде полинома Y=В0 + B1Х1 + … + BnХn + В12Х1Х2 + … Вnn-1ХnХn-1 + В11Х12 + … + ВnnXn2 +…. Разложение в степенной ряд функции возможно в том случае, если сама функция является непрерывной и гладкой. На практике обычно ограничиваются числом членов степенного ряда и аппроксимируют функцию полиномом некоторой степени. Факторы могут иметь разные размерности (А, В, Вт, об/мин) и резко отличаться количественно. В теории планирования эксперимента используют кодирование факторов. Рис. 5. Пространство кодированных факторов Эта операция заключается в выборе нового масштаба для кодированных факторов (рис. 5), причем такого, чтобы минимальное значение кодированных факторов соответствовало “-1”, а максимальное значение “+1”, а также в переносе начала координат в точку с координатами Х1ср, Х2ср, …, Хnср .При проведении научных экспериментов и технологических расчетов наряду с субстанционным (изготовление физического образца материала) и структурно-имитационным (имитация взаимодействия структурных элементов системы) моделированием широко применяется функциональное моделирование, результатом которого является получение некой математической функции, описывающей поведение объекта исследования, абстрагируясь от внутренней структуры вещественного субстрата. Функциональная модель работает по принципу «черного ящика», при этом известны параметры «входа» – переменные или постоянные факторы, а также, параметры «выхода» – критерий эффективности, отклик и т.д. . К примеру, построение функциональных моделей эксперимен-тальных зависимостей свойств бетона от его состава включает в себя следующие этапы:
Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Рассмотрим процесс математического планирования и обработки данных факторного эксперимента с применением программно-алгоритмических средств на примере компьютерной программы
«PlanExp B-D13» , разработанной в среде программирования Microsoft Visual Basic 6.0.
Разработанный программный продукт позволяет производить моментальный расчет плана эксперимента по заданным переменным факторам, рассчитывать коэффициенты уравнения математической модели,
проводить статистическую оценку адекватности математической модели, строить диаграммы линий равного уровня с возможностью обнаружения точки экстремума, а также, автоматически формировать отчет по
итогам эксперимента. Программа ориентирована на работу с трехфакторным планом эксперимента B-D13, который позволяет получать нелинейные квадратичные модели, и обладает хорошими статистическими
характеристиками. Алгоритм программы включает основные процедуры – процедуру расчета коэффициентов функции отклика, процедуру статистической обработки и процедуру визуализации математической модели. Все основные вычисления производятся циклично, что позволяет моментально перестраивать математическую модель, изменяя входные данные. Кроме того, алгоритм включает вспомогательную процедуру, обеспечивающую проверку синтаксической правильности вводимых данных. При допущении ошибок ввода данных программа корректирует действия пользователя средствами текстового оповещения. Интерфейс программного продукта реализован в виде логических блоков, позволяющих вводить исходные данные и изменять параметры вывода математической модели в интерактивном режиме (рисунок 1). Рисунок 1 – Интерфейс программы обработки данных трехфакторных планированных экспериментов Опишем порядок работы с программой на примере планированного эксперимента по исследованию зависимости прочности бетона от рецептурных факторов. В первом логическом блоке устанавливаются входные факторы эксперимента. В эксперименте варьируются: количество вяжущей части бетона; содержание наполнителя и количество добавки – гиперпластификатора. Значения факторов задаются в натуральном виде (граммы, проценты и т.д.). Пользователь заполняет текстовые поля – основной уровень факторов, интервал варьирования и наименование фактора (рисунок 2). Рисунок 2 – Блок ввода значений входных факторов В расчете факторного плана значения уровней входных факторов принимаются в кодированном виде, при этом, основной уровень (центр плана) каждого фактора обозначается как «0», а нижний и верхний уровни: «–1» и «+1» соответственно. Пересчет заданных пользователем натуральных значений факторов производится путем линейной интерполяции значений: где x i – значение i -го фактора в кодированном виде, X i – значение i -го фактора в натуральном виде, ΔX i – интервал варьирования i -го фактора. В текущем примере в эксперименте контролируется величина предела прочности бетона на сжатие (R сж , МПа). Для определения воспроизводимости измерений выходного параметра необходимо проводить параллельные измерения. В программе допускается ввод выходных значений до трех параллельных замеров. Согласно плану эксперимента рассчитывается 10 опытов по 3 параллельных испытания в каждом. Выходные параметры, наименование выходного параметра и количество параллельных замеров устанавливаются пользователем во втором блоке (рисунок 3). Рисунок 3 – Блок расчета плана эксперимента и ввода значений выходных параметров После автоматической проверки введенных данных программа рассчитывает коэффициенты математической модели и выводит функцию отклика в третьем логическом блоке (рисунок 4). Рисунок 4 – Блок вывода математической модели После получения математической модели производится проверка значимости (отличия от нуля) коэффициентов модели и ее адекватность. Адекватность (от лат. adaequatus – приравненный, равный) – соответствие, верность, точность. Точность измерения – характеристика измерения, отражающая степень близости его результатов к истинному значению измеряемой величины . Проверка коэффициентов на значимость производится с помощью критерия Стьюдента (t-критерия), который рассчитывается по формуле: где b i – i -й коэффициент математической модели, S {b i } – среднеквадратическое отклонение в определении коэффициентов. Среднеквадратическое отклонение в определении коэффициентов функции отклика рассчитывается по формуле: где C i – величины, приведенные для плана B-D13 в таблице 1, S в² – дисперсия воспроизводимости в параллельных опытах. Таблица 1 – Величины C i для плана B-D13 Дисперсия воспроизводимости в параллельных опытах рассчитывается по
где N – количество опытов в плане, m – количество параллельных измерений в каждом опыте, y uj – значение выходного параметра в u -ом опыте, j -ом параллельном замере, y u – среднее значение выходного параметра в u -ом опыте. Расчетное значение t-критерия сравнивается с табличным t табл для выбранного уровня значимости (как правило, 5 %) и данного числа степеней свободы N (m –1). При табл t i <t табл коэффициент b i считается незначимым. Проверка адекватности математической модели производится по критерию Фишера (F -критерий). Для этого вычисляется дисперсия адекватности по формуле: где n з – количество значимых коэффициентов, y u – значение отклика, предсказанное по уравнению математической модели. В свою очередь критерий Фишера рассчитывается как отношение: Расчетное значение F -критерия сравнивается с табличным F табл для выбранного уровня значимости (как правило, 5 %) и чисел степеней свободы N (m –1) и (N –n з ). При F <F табл уравнение математической модели считается адекватным. Результаты статистической обработки модели отображаются в четвертом логическом блоке (рисунок 5). Рисунок 5 – Блок статистической обработки математической модели В данном примере математическая модель прочности бетона признана адекватной по критерию Фишера (F =3,07 < F табл =3,1) и применима для решения рецептурно-технологических задач. Уравнение математической модели представляет собой квадратичную функцию трех переменных: Поскольку для графической интерпретации функции трех переменных требуется четырехмерное пространство, с целью визуального упрощения и удобства работы с математической моделью функцию трех переменных необходимо преобразовать в функцию двух переменных, поочередно принимая константой один из факторов. В пятом логическом блоке программы представлены средства для преобразования уравнения регрессии в функцию двух переменных. Пользователь может установить постоянный фактор и задать его значение (в пределах интервала варьирования) в кодированном и натуральном виде (рисунок 6). Рисунок 6 – Блок преобразования математической модели В результате преобразования получаются три варианта математической модели: y =f (x 2 ,x 3 ) при x 1 =const, y =f (x 1 ,x 3 ) при x 2 =const и y =f (x 1 ,x 2 ) при x 3 =const. Для визуализации каждого из трех видов уравнений строится диаграмма линий равного уровня (изолиний), представляющая собой проекции трехмерных поверхностей на плоскости (x 2 ; x 3 ), (x 1 ; x 3 ) и (x 1 ; x 2 ). Таким образом, кривая каждой изолинии строится в координатах (x 2 , x 3 ), (x 1 , x 3 ) и (x 1 , x 2 ), а ее построение производится по квадратичным функциям x 2 =f (x 3 ), x 1 =f (x 3 ) и x 1 =f (x 2 ) соответственно (рисунок 7). В шестом логическом блоке программы представлена интерактивная диаграмма изолиний, позволяющая пользователю снимать координаты факторного поля и значения выходного параметра в режиме реального времени. Рисунок 7 – Диаграмма изолиний математической модели прочности бетона: x 1 =const (а), x 2 =const (б), x 3 =const (в) Обработка данных планированного эксперимента завершается процедурой обнаружения экстремума функции отклика. Для определения координат точки экстремума производится автоматическое вычисление первой производной по каждому из значений факторов. Корни полученной системы уравнений представляют собой координаты точки экстремума исследуемого уравнения регрессии: Рисунок 8 – Поверхность отклика (а) при x 1 =const и ее сечение (б) при x 1 =const и x 2 =const Разработанное программное средство может применяться в любых научно-прикладных задачах по оптимизации свойств объекта исследования, подбора рецептуры и технологических параметров, где используется математическое моделирование методом ортогонального планирования экспериментов. –
Баженов, Ю.М. Модифицированные высококачественные бетоны /
Ю.М. Баженов, В.С. Демьянова, В.И. Калашников // научное издание. – М.: Издательство Ассоциации строительных вузов. 2006. 368 с. – Григорьев, Ю.Д. Планы эксперимента для моделей регрессии типа сплайнов / Ю.Д. Григорьев // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. №11 (79). 2013. – Ординарцева, Н.П. Планирование эксперимента в измерениях / Н.П. Ординарцева // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. № 03 (79). 2013. – Советский энциклопедический словарь / под ред. А.М. Прохорова. – М.: Советская энциклопедия, 1980. "Белов, В.В. Компьютерная реализация решения научно-технических и образовательных задач: учебное пособие / В.В. Белов, И.В. Образцов, В.К. Иванов, Е.Н. Коноплев // Тверь: ТвГТУ, 2015. 108 с." Прежде всего полезно было бы дать определение понятия «эксперимент». Однако, попытка дать строгое определение этого понятия «в достаточно общей и к тому же краткой форме практически невозможно». Некоторые считают, что лучше пользоваться метафорами. Пример метафорического определения дал известный французский ученый-экспериментатор Кювье: «Наблюдатель слушает природу, экспериментатор вопрошает и принуждает ее разоблачиться». Приведем здесь все же одно из возможных определений Эксперимент – это совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент. Примеры «хороших» и «плохих» экспериментов Хотя определение понятия научного эксперимента вызывает трудности, примеры хорошо и плохо поставленных экспериментов привести достаточно легко. Следуя монографии , рассмотрим один из широко известных примеров – взвешивание трех объектов a, b, c на аналитических весах. а) традиционная схема (табл.1) (Кстати сказать, схема, приведенные в таблицах 1, 2 , называются матрицами планирования. В обеих таблицах каждая строка задает условия проведения одного опыта. Обозначение «+1» указывает на проведение с объектом действия, а «-1» на отсутствие действия Таблица 1. Традиционная схема взвешивания трех объектов Традиционная схема выглядит следующим образом. Вначале выполняется холостое взвешивание для определения нулевой точки весов. Затем поочередно взвешивается каждый из объектов. Такая последовательность действий соответствует так называемому однофакторному эксперименту. Изучается поведение каждого фактора в отдельности. Масса каждого из объектов определяется по результатам двух опытов: взвешивания самого объекта и холостого опыта. Массы объектов А i определяются формулами А i = y i – y 0 (1) Дисперсия результата взвешивания такова 2 {A i } = 2 {y i – y 0 } = 2 2 {y} (2) где {y} – ошибка взвешивания Теперь проведем процедуру другим способом, используя схему, приведенную в табл.2. Здесь, как и в предыдущем случае, каждая строка задает условия проведения единичного опыта. Таблица 2. Планирование эксперимента при взвешивании трех объектов Разница с предыдущим случаем состоит в том, что вместо «холостого» взвешивания проводится взвешивание всех трех образцов вместе. Определим по результатам опытов массы объектов А 1
=
А 2
=
А 3
=
Для помнящих правила действий с матрицами заметим, что числители выражений (3) получены путем умножения элементов последнего столбца на элементы столбцов a, b и c. Учитывая смысл величины у 4 , заметим, что масса объекта, определяемого по одной из формул (3), входит в нее дважды, что приводит к появлению в знаменателе числа 2, а массы остальных объектов сокращаются. и, таким образом, не влияют на результат. Определим теперь дисперсию, связанную с ошибкой взвешивания. Сделаем это, например, для 1-го объекта. 2
{A}
= 2
{ Аналогичный результат получается и для объектов b и c. Таким образом, дисперсия получилась вдвое меньше, хотя количество опытов осталось тем же. Причина увеличения точности состоит в том, что в первом варианте масса образца определялась как результат двукратного взвешивания, а во втором варианте – из четырехкратного. Вторую схему эксперимента можно назвать многофакторной , поскольку при вычислении масс мы оперируем всеми факторами (объектами). Теперь перейдем к последовательному изложению основных определений, используемых в рассматриваемом разделе науки. 4.3.Основные определения, связанные с процессом планирования Начнем с определения самого предмета теории планирования эксперимента. Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Рассматриваются два типа задач планирования эксперимента. интерполяционные и экстремальные. Для первого типа задач эксперимент проводится с целью установления связи между некоторыми свойствами системы и рядом факторов. Для второго типа необходимо определить условия оптимизации работы некоторой системы, качество которой выражается некоторой целевой функцией или рядом функций. Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления. Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности. Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. и для решения задач оптимизации, Математическая модель выражается уравнением, связывающим интерполируемую или оптимизируемую величину с факторами. Y=F(Х 1 ,Х 2 , …, Х n ) (5) Величина Y – называется “откликом”, а сама зависимость Y=F(Х 1 ,Х 2 , …, Х n ) – “функцией отклика”. Отклик должен быть определен количественно. Однако могут встречаться и качественные признаки Y . В этом случае возможно применение рангового подхода. Пример рангового подхода - оценка на экзамене, когда одним числом оценивается сложный комплекс полученных сведений о знаниях студента. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами. Каждый фактор может принимать в опыте некоторое количество значений, которые называют уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний «черного ящика». Полное число состояний в большинстве случаев весьма велико, что исключает исследование путем простого перебора. Важно отметить два основных требования, которыми должен обладать объект исследования. Первое – это воспроизводимость результатов, то есть повторение результатов при том же наборе уровней при повторении экспе-римента с учетом разброса. Плохая воспроизводимость может быть связана нестационарностью. Тогда необходимо использовать специальные методы. Второе – это управляемость объекта, то есть возможность выбора в каждом опыте тех уровней факторов, которые представляют интерес. Независимые переменные Х 1 , Х 2 , …, Х n – иначе факторы, также должны иметь количественную оценку. Если используются качественные факторы, то каждому их уровню должно быть присвоено какое-либо число. Важно выбирать в качестве факторов лишь независимые переменные, т.е. только те которые можно изменять, не затрагивая другие факторы. Факторы должны быть однозначными. Для построения эффективной математической модели целесообразно провести предварительный анализ значимости факторов (степени влияния на функцию) и исключить малозначащие факторы. Диапазоны изменения факторов задают область определения Y . Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то получен-ное пространство называется факторным. При n=2 область определения Y представляется собой прямоугольник, при n=3 – куб, и.т.д. Дальнейшее продвижение в этом направлении приведет нас к необхо-димости существенных усложнений. Поэтому мы поясним факторный подход более простым способом. и чтобы не углубляться в формалистику процесса планирования эксперимента вернемся к рассмотрению конкретных примеров. 4.3.Неформальное рассмотрение процесса планирования эксперимента Перед этим обсудим некоторые общие свойства объектов планирования эксперимента. Можно рассматривать воспроизводимые и невоспроизводимые эксперименты. Для первых из них возможно повторение эксперимента в идентичных условиях. К ним относятся, разумеется, компьютерные эксперименты и лабораторные физические или химические эксперименты. В технике чаще встречаются невоспроизводимые эксперименты. Подобный эксперимент протекает во времени необратимо без возможности его измене-ния или повторения. Обычно изменения, вносимые в процессе эксперимента, малы и их условно можно рассматривать как воспроизводимые. В таких экспериментах можно выбрать последовательность условий. Рассмотрим два предельных случая Можно выбирать верхнее или нижнее значение независимой случайной величины и изменять его скачкообразно вплоть до достижения другого предельного значения. Но можно выбранные значения чередовать чисто случайным образом, выбирая то большее, то меньшее значение. Первый из этих планов называется последовательным , а второй – случайным (рандомизированным). По смыслу ясно, что для воспроизводимых экспериментов целесообразно применять план первого типа, а для невоспроизводимых - план второго типа. Хорошим примером необходимости использования последовательного плана является, например, исследование коэффициентов сопротивления в зависимости от числа Рейнольдса. При этом появляется возможность фикси-ровать изменения, связанные с физикой процесса. Как удачно выражается Шенк в «Теории инженерного эксперимента», в этих случаях «сама последовательность условий является определенным параметром». Но все же для большинства инженерных экспериментов более подходящим является частично или полностью рандомизированный план . Рассмотрим доводы в пользу такого подхода. При натурном, а не лабораторном эксперименте внешние эффекты могут неконтролируемым образом менять условия опыта. Таким образом, при исследовании функции R (Х) как R, так и Х могут меняться за счет влияния фактора y. Эти изменения ошибочно могут восприниматься как влияние Х на R. В процессе эксперимента может изменяться работоспособность оператора или ухудшением точности показаний прибора. Механические воздействия могут вызвать изменение замеренных значений переменной Х. Допустим, что в измерительном приборе или регуляторе имеет место «заедание». Тогда знак ошибки будет меняться в зависимости от направления изменения замеряемой величины и при реализации последовательного плана мы получим систематическую ошибку. Для рандомизации можно использовать, например, генератор случайных чисел. Однофакторный эксперимент В данном случае имеется одна регулируемая переменная. Однако, кро-ме того на результат влияют нерегулируемые внешние переменные. Их влия-ние и должно быть скомпенсировано путем рандомизации условий экспери-мента. Рассмотрим следующий пример (Шенк): Требуется проверить работу нового резца в производственных условиях и определить скорость обработки обеспечивающую максимальный.выход продукции при заданном проценте брака. У нас один фактор –скорость обработки. Внешние переменные – станки, рабочие, дни недели. Выбираются случайным образом 4 станочника (A, B, C, D) и 4 различные скорости обработки (1, 2, 3, 4). Простейший вариант плана Он явно плохой, так как не учитывает последовательности изменении условий эксперимента, связанных с психологией, здоровьем, днями недели и.т.д. Рандомизация: выбор скорости по дням производится по жребию. Этот план более совершенный, его еще можно улучшить. Для этого проведем полную рандомизацию таким образом, чтобы кроме того в данный день каждая скорость обработки встречалась только один раз. Получившаяся матрица называется латинский квадрат и представляет собой частный случай в семействе планов факторных экспериментов. Он ха-рактерен тем, что каждый символ встречается в каждом столбце и в каждой строке только один раз. Наконец, можно внести еще одно усовершенствование плана экспери-мента – устранить влияние того, что за каждым рабочим закреплен свой станок. Обозначим станки буквами W, X, Y, Z, таким образом, чтобы каждый рабочий обслуживал каждый станок только дин день. Тогда получим следующий план Это так называемый греко-латинский квадрат, который позволяет устранить влияние трех факторов. Он является сбалансированным, посколь-ку количество уровней фактора (скорости) и количества значений случайных переменных равны между собой. При большем количестве случайных пере-менных задача существенно усложняется. Если, например, мы хотим рассмотреть 6 скоростей, то для аналогич-ной сбалансированной схемы (квадрата) нам нужно иметь по шесть станков, рабочих и дней. Но можно сократить объем опытов, ограничив число рабочих тремя. Тогда можно ограничиться двумя Греко-латинскими квадратами 3 х 3 Этот план требует вдвое меньше, чем сбалансированный, но может оказаться вполне удовлетворительным |
Читайте: |
---|
Новое
- Журнал «Телесемь»: уж замуж невтерпеж
- Презентация на тему моя семья по английскому языку Uncle - дядя
- Сколько товаров можно приобрести на AliExpress, чтобы избежать уплаты таможенной пошлины Таможенные пошлины на ввоз товаров
- Договор оказания услуг образец (типовая форма)
- Должностная инструкция директора по операционной деятельности Операционный директор и исполнительный директор - разница
- «Клиенты на всю жизнь» Карл Сьюэлл, Пол Браун
- График производства работ
- Внешняя и внутренняя мотивация: определение, особенности формирования и факторы Мотивирующие факторы
- Глава III Устройство современных дирижаблей и их данные Дирижабли в наше время
- Создание спецификаций Что такое спецификация номенклатуры в 1с