Definicja 5. Podstawienie N-ty stopień nazywa się mapowaniem jeden do jednego zestawu na siebie. Podstawienie jest zwykle pisane za pomocą dwóch n-permutacje pisane jedna pod drugą:

, (1)

Gdzie przez oznacza liczbę, do której po podstawieniu przechodzi element i, tj.; i = 1,2, ..., n.

W rekordzie wyszukiwania możesz swobodnie wymieniać kolumny. Na przykład wszystkie trzy z poniższych podstawień są równe.

. (2)

W szczególności wszelkie substytucje n-ty stopień można zapisać jako:

.

Przy tej formie zapisu różne podstawienia różnią się tylko permutacjami w dolnej linii. Następnie, na mocy Twierdzenia 1, otrzymaliśmy następujące stwierdzenie.

Twierdzenie 4.Liczba różnych podstawień n-tego stopnia wynosi N.

Definicja 6.Według liczby inwersji w podstawieniu jest sumą liczby inwersji w pierwszym i drugim wierszu podstawienia.

Liczbę inwersji w podstawieniu oznaczamy symbolem. Zastąpienie nazywa się Parzysty, jeśli liczba jest parzysta i nazywa się Dziwne jeśli liczba jest nieparzysta. Symbol wieloznaczny to liczba:

.

Dlatego symbol wieloznaczny to 1 lub -1, w zależności od tego, czy podstawienie jest parzyste, czy nieparzyste.

Zgodnie z twierdzeniem 2, gdy kolumny w podstawieniu są permutowane, parzystości permutacji w dolnym i górnym wierszu podstawienia są jednocześnie odwrócone. W konsekwencji parzystość permutacji jest zachowana. Z tego i Twierdzenia 3 otrzymujemy następujące własności podstawień.

1. Parzystość i symbol wieloznaczny są niezależne od zapisu wieloznacznego.

2. Kiedy n> 1 liczba parzystych podstawień n-ty stopień jest równy liczbie nieparzystych podstawień i jest równy.

Przykład 4. Podstawienie (2) jest nieparzyste i ma znak -1, chociaż dla różnych form zapisu ma 3, 7, 5 inwersji.

Pokażmy, że zbiór wszystkich permutacji n-ty stopień tworzy grupę ze względu na działanie podstawień mnożenia, zdefiniowane poniżej. Ta grupa ma duże znaczenie w algebrze, zwana Symetryczny Grupa i jest oznaczona symbolem.

Definicja 7. Przez iloczyn podstawień i n-ty stopień to złożenie tych stwierdzeń jako odwzorowań, czyli dla dowolnych mamy. Oznaczamy

Ponieważ złożenie dwóch odwzorowań bijektywnych jest odwzorowaniem bijektywnym, to iloczyn dwóch permutacji n-ty stopień są podstawki n-ty stopień. W praktycznym mnożeniu podstawień najpierw wykonuje się prawe podstawienie, a następnie lewe. Na przykład,

Twierdzenie 5.Zbiór wszystkich permutacji n-tego stopnia tworzy grupę w odniesieniu do operacji mnożenia permutacji.

Dowód. W związku z powyższym operacja mnożenia podstawień jest binarną operacją algebraiczną. Sprawdźmy aksjomaty grupy.

Mnożenie przez permutację jest asocjacyjne. Rzeczywiście, niech tak będzie. Wtedy dla każdego

Odwzorowanie jeden-do-jednego na siebie (lub przekształcenie) zbioru skończonego N = (1, 2, 3, n) pierwszych n liczb naturalnych nazywa się podstawieniem n liczb (lub podstawieniem n-d stopnia). Zwyczajowo zapisuje się podstawienie w postaci dwóch ciągów liczb ujętych w nawiasy. Na przykład, korespondencja jeden do jednego liczb naturalnych 1, 2 i 3, dana przez zbiór ((2, 3), (1, 2), (3, 1)) par uporządkowanych) jest zapisana jako podstawienie p trzeciego stopnia (2 1 3 \ P = 13 2 1 J "w którym 2 idzie na 3, 1 - na 2, a 3 - na 1. Ponieważ wyświetlacz nie zmienia się, gdy kolejność zamówionych par jest zmienione, to samo podstawienie można przedstawić w kilku postaciach: liczby w górnym wierszu są ułożone w kolejności naturalnej, następnie podstawienie 71. stopnia przyjmuje postać (4.19), gdzie t „i, t” 2, in są pierwsze n liczb naturalnych umieszczonych w określonej kolejności podstawienie, a całkowita liczba permutacji n-tego stopnia pokrywa się z liczbą n!permutacji pierwszych n elementów zbioru N w dolnej linii (4.19). n-ty stopień bierze w siebie każdą liczbę i może być zapisany w postaci (4.20) Kompozycja p2 ° Pi n-tego stopnia permutacje pi i P3 są nazywane n-te podstawienie potęgi p = pipi), co jest wynikiem sekwencyjnego wykonania mapowania, najpierw podanego przez pi, a następnie przez /> 2. Skład podstawień jest napisany w formie ich iloczynu, ale w odwrotnej kolejności, a pip? frr \. Na przykład dla podstawień Jest jasne, że jeśli p jest podstawieniem n-tego stopnia, to znaczy pl pełni rolę elementu neutralnego w stosunku do prawa składu odwzorowań. Jeśli wiersze podstawienia p w (4.19) są zamienione, to otrzymujemy odwrotne podstawienie do podstawienia p i posiadające właściwość, która jest p "1 pełni rolę elementu symetrycznego względem p względem prawa składu odwzorowań. Zatem zbiór P n! podstawień n-tego stopnia tworzy grupę multiplikatywną (patrz Tabela 4.1) względem tego prawa, które w tym przypadku pełni rolę prawa multiplikatywnego ( Zbiór P nazywamy grupą permutacyjną n-tego stopnia. Ponieważ pierwszy wiersz jest niezmieniony przy zapisie w postaci (4.19), podstawienie n-tego stopnia można określić tylko w drugim wierszu: czyli przez permutację pierwszych n elementów zbioru N. Jeżeli w takiej permutacji dowolne dwie liczby są zamienione (niekoniecznie sąsiadujące), a pozostałe zostają na swoich miejscach, to otrzymujemy nową permutację. Ta transformacja nazywana jest transpozycją permutacyjną. Dwie liczby tworzą odwrócenie w permutacji, gdy mniejsza z nich znajduje się na prawo od większej (lub, jak mówią, większa liczba w permutacji występuje przed mniejszą). Permutacja jest wywoływana, nawet jeśli całkowita liczba inwersji w jej wierszu jest parzysta, a w przeciwnym razie nieparzysta. Aby obliczyć całkowitą liczbę inwersji w jakimś przegrupowaniu n elementów, każdy element jest porównywany sekwencyjnie, zaczynając od pierwszego po lewej, ze wszystkimi następującymi po nim, g określa liczbę mniejszych liczb stojących po prawej stronie. Daje to liczbę inwersji danego elementu. Otrzymane w ten sposób liczby n-1 są dodawane. Przykład 4.12. a. Permutacja (1, 2, ..., n) jest parzysta dla dowolnego n, ponieważ liczba inwersji w niej jest równa zero. b. Permutacja () zawiera 14 inwersji i dlatego jest parzysta. v. Permutacja () zawiera 17 inwersji i dlatego jest nieparzysta. Twierdzenie 4.7. Każda transpozycja zmienia parzystość permutacji. Rozważmy najpierw przypadek, w którym liczby permutowane r i j są obok siebie, tj. pierwotna permutacja i permutacja uzyskana przez transpozycję mają postać, w której elipsy zastępują liczby, na które ta transpozycja nie ma wpływu. W obu permutacjach każda z liczb t, j stanowi tę samą inwersję z liczbami, które pozostają na swoich miejscach. Jeżeli liczby r oraz w pierwotnej permutacji nie tworzyły inwersji, to po transpozycji pojawi się jedna nowa inwersja. Jeśli te liczby w pierwotnej permutacji tworzyły inwersję, to po transpozycji zniknie, tj. całkowita liczba inwersji zmniejsza się o jeden. W obu przypadkach zmienia się parzystość permutacji. Teraz niech będzie m liczb (m 6 N) między permutowanymi liczbami r i j, tj. permutacja pierwotna ma postać Kolejnośći i j można zamienićw wyniku sekwencyjnej zmiany miejsc sąsiednich liczb wykonując kroki 2m + 1 (przestawiamy t na klf następnie t, które jest już w miejscu A ? i, c, itd., aż r w m krokach nie zajmie miejsca kt i nie stanie obok j; wtedy zamienimy i i Y, a na koniec wykona m więcej kroków, aby kolejno przestawić j od kt-1 itd., po czym nastąpi j, a liczby k kt zachowają swoje miejsca). W tym przypadku parzystość permutacji zmienia się nieparzystą liczbę (2m + 1 razy). Dlatego permutacje (4.21) mają przeciwne parytety. Rozważ wpis o podstawieniu (4.19). Permutacje, które tworzą jego górną i dolną linię, mogą mieć takie same lub przeciwne parytety. Przejście do dowolnego innego zapisu można przeprowadzić poprzez sekwencyjne wykonanie kilku transpozycji w górnym wierszu i odpowiednich transpozycji w dolnym wierszu. Jednak dokonując jednej transpozycji w górnym rzędzie (4.19) i jednej transpozycji odpowiednich elementów w dolnym rzędzie, jednocześnie zmieniamy parytety obu permutacji, a zatem zachowujemy koincydencję lub przeciwieństwo ich parzystości. Z tego wynika, że ​​w przypadku dowolnego podstawienia parzystości górnego i dolnego rzędu albo pokrywają się, albo są przeciwne. Grupa substytucyjna substytucja n liczb grupa symetrii składu figury Definicja 4.10. Zastąpienie jest wywoływane, nawet jeśli permutacje w obu wierszach mają tę samą parzystość, a nieparzyste, jeśli jest odwrotnie. Widać wyraźnie, że permutacja tożsamości (4.20) jest parzysta, a parzystość permutacji podana w postaci (4.19) pokrywa się z parzystością permutacji w jej dolnym wierszu. Powyższe można uogólnić w odniesieniu do odwzorowania jeden do jednego na siebie (przekształcenie) dowolnego skończonego zbioru E- (ni, 02, an) (niekoniecznie liczbowego), jeśli jego elementy są ponumerowane pierwszymi n liczbami naturalnymi. Przykład 4.13. Niech będą wierzchołkami trójkąta równobocznego (ryc. 4.5). ^ Gdy zbiór P z n! = 3! = 6 podstawień, gdzie „b” 2, „s są trzema liczbami naturalnymi 1, 2, 3 ułożonymi w pewnej kolejności, opisuje grupę na ryc. 4,5 symetrii tego trójkąta, czyli takie przemieszczenia trójkąta w płaszczyźnie, w której pokrywa się on ze sobą. Podstawienie tożsamości e, kiedy, pozostawia trójkąt na miejscu. Dla (nawet podstawienia a i 0) trójkąt obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara względem punktu O, odpowiednio o kąty a = 3 (patrz ryc. 4.5). Dla (nieparzyste podstawienie q) trójkąt obraca się wokół osi symetrii OA. Obroty wokół osi symetrii OB i OS dają nieparzyste podstawienia odpowiednio z i z dla 4 = 3, „2 = 2”, z = 1 i „1 = 2”, 2 = 1, „Z = 3. Pip iloczynu? każde z tych podstawień określa również jedną z operacji wyrównania trójkąta (na przykład qr = /?). W lewej kolumnie i górnym rzędzie tabeli. 4.2 zapisy dla podstawień p1 i p2 są umieszczone odpowiednio, aw pozostałych miejscach iloczyny pip? te substytucje. W każdym rzędzie iw każdej kolumnie tabeli. 4.2 istnieje identyczne podstawienie e, tj. każda operacja ma symetryczność (lub odwrotność), a dla operacji obrotu wokół dowolnej osi symetrii (i oczywiście dla tej samej operacji) sama ta operacja jest odwrotna. Tablica jest asymetryczna względem swojej głównej przekątnej (przechodzącej przez elementy lewy górny i prawy dolny), co po raz kolejny pokazuje, że iloczyn permutacji jest nieprzemienny. Rozważany zbiór P permutacji nazywany jest również grupą symetrii figury (w tym przypadku trójkątem równobocznym). Podobnie można skonstruować grupę symetrii dowolnego innego obiektu geometrycznego jako zbiór wszystkich przekształceń przestrzeni metrycznej, które ją ze sobą łączą (na przykład grupa symetrii kwadratu, sześcianu, czworościanu itp.). To właśnie z tych stanowisk E.S. Fiodorow w 1890 skonstruował klasyfikację regularnych przestrzennych układów punktów stosowanych w krystalografii. Było to historycznie pierwsze zastosowanie teorii grup bezpośrednio do nauk przyrodniczych. Pytania i zadania 4.1. Sprawdź, czy złożenie prawa (działania) m ma własności asocjatywności i przemienności na zbiorze E: gdzie NWD jest największym wspólnym dzielnikiem dwóch liczb naturalnych. 4.2. Ustal, które struktury algebraiczne składają się z następujących zbiorów liczbowych ze względu na wskazane prawa kompozycyjne: a) jeden ze zbiorów ze względu na dodawanie i ze względu na mnożenie; b) zbiór wszystkich liczb parzystych ze względu na dodawanie i mnożenie; c) zbiór stopni danej liczby rzeczywistej af OO z wykładnikami całkowitymi ze względu na mnożenie; d) zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych danego stopnia n ∈ N od jedności względem mnożenia; e) zbiór złożonych pierwiastków wszystkich stopni n € 14 od jedności w odniesieniu do mnożenia; f) zbiór liczb zespolonych o danym module r ∈ R względem mnożenia; g) zbiór liczb zespolonych o module nieprzekraczającym danej liczby R Φ 0, ze względu na dodawanie i ze względu na mnożenie; h) zbiór liczb zespolonych o niezerowym module położonych na promieniach wychodzących z początku i tworzących kąty y> 2i »¥> mz osią Ox względem mnożenia. i) zbiór P (E) wszystkich podzbiorów pewnego zbioru E w odniesieniu do operacji symetrycznej różnicy i przecięcia oraz w odniesieniu do każdego z nich z osobna. 4.3. Na zbiorze E = (o, 6, c) jednej z tabel podano prawo składu m. Dla każdego z tych praw określ jego właściwości, wskaż element neutralny i pary elementów symetrycznych (jeśli istnieją), ustalić rodzaj struktury algebraicznej. 4.4. Prawa składu addytywnego (+) i multiplikatywnego (*) podane są na zbiorze E = (o, 6, c) za pomocą tabel. Dla każdego z tych praw określ jego właściwości, wskaż element neutralny i pary elementów symetrycznych (jeśli istnieją). Jaką strukturę algebraiczną tworzy zbiór E w odniesieniu do każdego z podanych praw, a co - w odniesieniu do obu praw? Jakie znaczenie nabierają te prawa w zbiorze liczbowym, jeśli umieścimy a = 1, 6 = 2, c = 3? 4.5. Addytywne (+) i multiplikatywne (*) prawa składu są podane na zbiorze E = (0, 1, ru q) za pomocą tabel. Dla każdego z tych praw określ jego właściwości, wskaż element neutralny i pary elementów symetrycznych (jeśli istnieją). Jaką strukturę algebraiczną tworzy zbiór E w odniesieniu do każdego z podanych praw, a co - w odniesieniu do obu praw? 4.6. Udowodnij właściwości operacji dodawania i mnożenia liczb zespolonych. 4.7. Znajdź części rzeczywiste i urojone liczb zespolonych: 4.8. Udowodnij równości: Permutacja grup permutacji n liczb skład grupy symetrii figury 4.9. Udowodnij, że | £ C. W jakich warunkach te nierówności stają się równościami? 4.10. Znajdź wszystkie liczby zespolone sprzężone z jego a) kwadratem i b) sześcianem. 4.11. Niech na płaszczyźnie zespolonej będą dane trzy punkty zlf z3. 1. Znajdź punkt r, który wyznacza położenie środka masy układu punktów materialnych o masach mi, m2) m3 znajdujących się w danych trzech punktach. W jakich warunkach środek masy znajdzie się w punkcie początkowym? 2. Podane punkty są wierzchołkami trójkąta. Znajdź punkt przecięcia jej median. Pod jakim warunkiem będzie u źródła? 3. Podane punkty to trzy wierzchołki А \% А2у równoległoboku. Znajdź czwarty wierzchołek L4, naprzeciwko A2. Pod jakim warunkiem będzie u źródła? 4. Pod jakim warunkiem podane punkty leżą na jednej prostej? 5. Znajdź środek okręgu przechodzącego przez podane punkty. Pod jakim warunkiem będzie u źródła? 6. Jak zlokalizowane są dane punkty, jeśli |zi | = \ z2 \ = = 1 * s | φ 0 oraz zi + z2 + z3 = 0? 4.12. Znajdź zbiór punktów płaszczyzny zespolonej o podanym warunku: 4.13. Udowodnij równość: a 4.14. Czy równość jest prawdziwa (* 4.15. Znajdź iloczyn wszystkich pierwiastków stopnia n ∈ N jedności. 4.16. Czy liczba (2 + i) / (2- «) jest pierwiastkiem jakiejś potęgi jedności? 4.17. Znajdź liczby zespolone odpowiadające przeciwległym wierzchołkom kwadratu, jeśli pozostałe dwa wierzchołki odpowiadają liczbom z \ i 23. 4.18 Znajdź liczby zespolone odpowiadające wierzchołkom n-kąta foremnego, jeśli liczby z \ i 22 odpowiadają dwóm z sąsiednich wierzchołków 4.19 Udowodnij, że zera całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami jego członu wolnego (współczynnika an) i znajdź zera całkowite wielomianów: 4.20 Udowodnij, że każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach rzeczywistych ma co najmniej jeden prawdziwe zero. 4.21. Znajdź wielomian najmniejszego stopnia o rzeczywistych współczynnikach, których zera to: a) 3 i 2-i; b) t (pierwiastek krotności 2) oraz -1-i; c) 0, 1, ja. 4.22. Znajdź: a) wielomian z zerami x \ pod warunkiem, że liczby a?I, X2 i a?Z są zerami wielomianu x3 -x2 -1; b) wartość a, przy której zera wielomianu x3-1-x2 + 2a: + a tworzą ciąg geometryczny; c) suma kwadratów i suma sześcianów zer wielomianu 8a: 4 - 5®2 + 2 «+1; d) suma wszystkich współczynników wielomianu: 1); e) wielomian P (x) najmniejszego stopnia według warunku: Znajdź parzystość podstawień: 4.24. Zapisz grupę symetrii kwadratu, znajdź parzystość każdego podstawienia z tej grupy, zbuduj tabelę podobną do Tabeli. 4.2 i przeanalizuj go.

Definicja ... Każde odwzorowanie jeden do jednego zbioru A pierwszych n liczb naturalnych na siebie samego nazywa się podstawienien-tego stopnia, no i oczywiście każdą permutację A można zapisać za pomocą dwóch permutacji podpisanych jedna pod drugą

Przez α i tutaj oznacza liczbę, na którą podstawienie A przekształca liczbę i , i = 1, 2, …, n.

Zapiszmy jeden pod pozostałymi dwoma permutacjami n znaków, biorąc wynikowe dwa wiersze w nawiasach; na przykład n = 5:

Powiemy, że liczba to 3 przemija liczba 5, liczba 5 przechodzi w 2, liczba 1 przechodzi w 3, liczba 4 przechodzi w 4 (lub pozostaje na miejscu), a w końcu liczba 2 przechodzi w 1. Zatem dwie permutacje, zapisane pod sobą w postaci (2 ) zdefiniuj niektóre mapowanie jeden do jednego zestawy pierwszych pięciu liczb naturalnych na siebie, to znaczy odwzorowanie, które przypisuje każdej z liczb naturalnych 1, 2, 3, 4, 5 jedną z tych samych liczb naturalnych, a różnym liczbom przypisuje się różne liczby.

Jasne jest, że odwzorowanie jeden do jednego zbioru pierwszych pięciu liczb naturalnych, które otrzymaliśmy za pomocą (2), można uzyskać, zapisując jeden pod drugim i kilka innych par permutacji pięciu symboli. Rekordy te są uzyskiwane z (2) przez kilka transpozycji (permutacji) kolumn; takie są na przykład

We wszystkich tych wpisach 3 przechodzi w 5, 5 w 2 i tak dalej.

Podstawienie A ma wiele różnych wpisów formularza (1). Tak więc (2) i (3) są różnymi zapisami tego samego podstawienia piątego stopnia.

Kanoniczna forma podstawienia

W szczególności każde podstawienie n-tego stopnia A może być zapisane w formie kanonicznej

czyli z naturalnym układem liczb w górnej linii. Przy takim zapisie różne podstawienia różnią się od siebie permutacjami w dolnej linii.

Przykładem podstawienia n-tego stopnia jest podstawienie tożsamości

w którym wszystkie znaki pozostają na swoim miejscu.

Komentarz ... Należy zauważyć, że górna i dolna linia we wpisie (1) podstawienia A pełnią różne role i zmieniając ich kolejność, ogólnie rzecz biorąc, otrzymujemy różne podstawienie.

Struktura substytucji pętli

Zobacz zastępstwo

(Ponadto wszystkie liczby i 1 , i 2 , …, i m - inny)

nazywa się cyklem o długości m.

W przypadku cykli wprowadza się specjalne oznaczenie:

Przykład 1.

Cykl (2 3 4 1) działa w następujący sposób

Twierdzenie. Każde podstawienie można rozłożyć na produkt niezależnych cykli. Ten rozkład jest unikalny aż do rzędu cykli.

Algorytm tworzenia cyklu:

1. Weź podmianę, zobacz, do czego zmierza pierwszy element.

2. Wynikowy element piszemy za pierwszym elementem i znajdujemy jego obraz pod akcją podstawienia.

3. Gdy tylko obraz zbiegnie się z elementem, od którego rozpoczęła się budowa cyklu, zamknij cykl.

Przykład 2.

Rozwiń zastąpienie

na iloczyn niezależnych cykli.

Rozwiązanie.

Od tego czasu otrzymujemy cykl (135). Łańcuch 2 → 4 → 2 daje transpozycję (24). Również 6 → 8 → 6 daje transpozycję (68). 7 pozostaje na swoim miejscu.

Definicja ... Każde odwzorowanie jeden do jednego zbioru A pierwszych n liczb naturalnych na siebie samego nazywa się podstawienien-tego stopnia, no i oczywiście każdą permutację A można zapisać za pomocą dwóch permutacji podpisanych jedna pod drugą

Przez α i tutaj oznacza liczbę, na którą podstawienie A przekształca liczbę i , i = 1, 2, …, n.

Zapiszmy jeden pod pozostałymi dwoma permutacjami n znaków, biorąc wynikowe dwa wiersze w nawiasach; na przykład n = 5:

Powiemy, że liczba to 3 przemija liczba 5, liczba 5 przechodzi w 2, liczba 1 przechodzi w 3, liczba 4 przechodzi w 4 (lub pozostaje na miejscu), a w końcu liczba 2 przechodzi w 1. Zatem dwie permutacje, zapisane pod sobą w postaci (2 ) zdefiniuj niektóre mapowanie jeden do jednego zestawy pierwszych pięciu liczb naturalnych na siebie, to znaczy odwzorowanie, które przypisuje każdej z liczb naturalnych 1, 2, 3, 4, 5 jedną z tych samych liczb naturalnych, a różnym liczbom przypisuje się różne liczby.

Jasne jest, że odwzorowanie jeden do jednego zbioru pierwszych pięciu liczb naturalnych, które otrzymaliśmy za pomocą (2), można uzyskać, zapisując jeden pod drugim i kilka innych par permutacji pięciu symboli. Rekordy te są uzyskiwane z (2) przez kilka transpozycji (permutacji) kolumn; takie są na przykład

We wszystkich tych wpisach 3 przechodzi w 5, 5 w 2 i tak dalej.

Podstawienie A ma wiele różnych wpisów formularza (1). Tak więc (2) i (3) są różnymi zapisami tego samego podstawienia piątego stopnia.

Kanoniczna forma podstawienia

W szczególności każde podstawienie n-tego stopnia A może być zapisane w formie kanonicznej

czyli z naturalnym układem liczb w górnej linii. Przy takim zapisie różne podstawienia różnią się od siebie permutacjami w dolnej linii.

Przykładem podstawienia n-tego stopnia jest podstawienie tożsamości

w którym wszystkie znaki pozostają na swoim miejscu.

Komentarz ... Należy zauważyć, że górna i dolna linia we wpisie (1) podstawienia A pełnią różne role i zmieniając ich kolejność, ogólnie rzecz biorąc, otrzymujemy różne podstawienie.

Struktura substytucji pętli

Zobacz zastępstwo

(Ponadto wszystkie liczby i 1 , i 2 , …, i m - inny)

nazywa się cyklem o długości m.

W przypadku cykli wprowadza się specjalne oznaczenie:

Przykład 1.

Cykl (2 3 4 1) działa w następujący sposób

Twierdzenie. Każde podstawienie można rozłożyć na produkt niezależnych cykli. Ten rozkład jest unikalny aż do rzędu cykli.

Algorytm tworzenia cyklu:

1. Weź podmianę, zobacz, do czego zmierza pierwszy element.

2. Wynikowy element piszemy za pierwszym elementem i znajdujemy jego obraz pod akcją podstawienia.

3. Gdy tylko obraz zbiegnie się z elementem, od którego rozpoczęła się budowa cyklu, zamknij cykl.

Przykład 2.

Rozwiń zastąpienie

na iloczyn niezależnych cykli.

Rozwiązanie.

Od tego czasu otrzymujemy cykl (135). Łańcuch 2 → 4 → 2 daje transpozycję (24). Również 6 → 8 → 6 daje transpozycję (68). 7 pozostaje na swoim miejscu.