FEDERALNA AGENCJA EDUKACJI

PAŃSTWOWA INSTYTUCJA EDUKACYJNA WYŻSZEGO SZKOLNICTWA ZAWODOWEGO „SAMARA PAŃSTWOWY UNIWERSYTET LOTNICZY im. Akademika S.P. KOROLEWA”

Yu Zabołotnow

OPTYMALNA KONTROLA UKŁADÓW CIĄGŁYCH DYNAMICZNYCH

Zatwierdzona przez Uniwersytecką Radę Redakcyjno-Wydawniczą jako pomoc dydaktyczna

SAMARA 2005

UDC 519,9 + 534,1

Recenzenci: SA Iszkow, L.V. Kudyurow

Zabołotnow Yu.

Optymalne sterowanie ciągłymi układami dynamicznymi: podręcznik. dodatek / Yu Zabołotnow; Samar. państwo lotniczy uniw. Samara, 2005. 149 s. : chory.

Podręcznik zawiera opis metod optymalnego sterowania układami dynamicznymi. Szczególną uwagę zwrócono na optymalne rozwiązanie problemu stabilizacji dla liniowych układów dynamicznych. Wraz z przedstawieniem klasycznych metod optymalnego sterowania układami liniowymi, opartych głównie na zasadzie Bellmana programowania dynamicznego, rozpatrzono w przybliżeniu optymalne sterowanie oscylacyjnych układów dynamicznych metodą uśredniania.

Materiał podręcznika jest uwzględniony w trakcie wykładów „Teoretyczne podstawy automatycznego sterowania”, prowadzonych przez autora dla studentów specjalności 230102 - zautomatyzowane systemy przetwarzania i sterowania informacji na wydziałach systemów i technologii informatycznych, matematyki i mechaniki SSAU . Podręcznik może być jednak przydatny studentom innych specjalności podczas studiowania teorii optymalnego sterowania układami dynamicznymi.

PRZEDMOWA……………………………………………………. 5

1. PODSTAWOWE PRZEPISY TEORETYCZNE DOTYCZĄCE OPTYMALNEGO STEROWANIA UKŁADAMI DYNAMICZNYMI………………………….………………………….. 8

1.1. Stwierdzenie problemu optymalnego sterowania układami dynamicznymi…………………………….…...8

1.2. Optymalna kontrola oprogramowania i problem

stabilizacja………………………………………………………. jedenaście

1.3. Ruchy niezakłócone i zaburzone układu dynamicznego…………………………………………….………….. 12

1.4. Stwierdzenie problemu optymalnej stabilizacji ruchu dla liniowego układu dynamicznego……………………………..… 14

2. KONTROLA I OBSERWOWALNOŚĆ

UKŁADY DYNAMICZNE………………………………….….16

2.1. Podobne przekształcenia liniowych układów dynamicznych.16

2.2. Sterowalność układów dynamicznych.……………………….18

2.3. Obserwowalność układów dynamicznych……………………….21

3. ZASADA PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO BELLMANA I TEORIA STABILNOŚCI LAPUNOWA…24

3.1. Zasada programowania dynamicznego Bellmana…24

3.2. Optymalne sterowanie liniowymi układami dynamicznymi………………………………………………………..………… 29

3.3. Teoria stabilności Lapunowa……………………………31

3.4. Związek metody programowania dynamicznego z teorią stabilności Lapunowa …………………………………………... 37

4. OKREŚLENIE OPTYMALNEJ REGULACJI DLA LINIOWYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH……………………… 39

4.1. Rozwiązanie równania Bellmana dla liniowych stacjonarnych układów dynamicznych..……………………………………………………………… 39

4.2. Rozwiązanie równania Bellmana dla liniowych niestacjonarnych układów dynamicznych..…………………………………………… 41

4.3. O wyborze kryterium optymalności przy rozwiązywaniu problemu stabilizacji……………………………………………………….43

4.4. Przykład optymalnego doboru współczynników regulatora

przy sterowaniu układem liniowym drugiego rzędu……….. 47

5. DYNAMICZNE UKŁADY WIBRACYJNE ………….56

5.1. Małe oscylacje układów dynamicznych………………….…56

5.2. Sterowalność i obserwowalność liniowych, oscylacyjnych układów dynamicznych…………………………………………………………………. 65

5.3. Metoda małych parametrów..…………………………………….. 68

5.4. Metoda uśredniania..………………………………………….… 72

5.5. Metoda uśredniania dla układu o jednym stopniu swobody... 76

5.6. Metoda uśredniania dla systemów z kilkoma szybkimi

fazy……………………………………………………………………………. 79

5.7. Metoda uśredniania dla układu o dwóch potęgach

wolność…………………………………………………..…… 86

6. PRZYBLIŻONE OPTYMALNE STEROWANIE DYNAMICZNYMI UKŁADAMI WIBRACYJNYMI.... 93

6.1. Sterowanie liniowym układem oscylacyjnym o jednym stopniu swobody……………………………………………………….… 93

6.2. Sterowanie liniowym układem oscylacyjnym o dwóch stopniach swobody..……………………………………………………………………. 106

6.3. Wpływ zaburzeń nieliniowych na rozwiązanie optymalnego problemu sterowania……………//…………………………… 115

WYKAZ WYKORZYSTANYCH ŹRÓDEŁ…..…………127

ZAŁĄCZNIK 1. Podobne transformacje liniowych układów dynamicznych …………………………………………..…129

ZAŁĄCZNIK 2. Badania jakościowe liniowych układów dynamicznych na płaszczyźnie fazowej …………………… 134

ZAŁĄCZNIK 3. Różniczkowanie funkcji argumentem wektorowym………………………………………………………... 142

ZAŁĄCZNIK 4. Podstawowe pojęcia teorii szeregów asymptotycznych……………………………………………………………. 143

ZAŁĄCZNIK 5. Uśrednianie trygonometryczne

funkcje…………………………………..………………….. 148

PRZEDMOWA

Tradycyjnie klasyczna teoria sterowania uwzględnia dwa główne problemy: problem wyznaczania programowego ruchu układu dynamicznego oraz problem projektowania sterowników realizujących zadany programowy ruch obiektu sterującego (problem stabilizacji). Podręcznik koncentruje się głównie na rozwiązaniu problemu stabilizacji, który zwykle rozwiązuje się za pomocą liniowych modeli dynamicznych. W porównaniu do systemów statycznych, w układach dynamicznych proces rozwija się w czasie, a sterowanie w ogólnym przypadku jest również funkcją czasu.

Rozwiązując problem stabilizacji, można zastosować różne metody. W tym miejscu należy przede wszystkim zwrócić uwagę na klasyczne metody teorii sterowania automatycznego, oparte na aparacie funkcji przenoszenia i charakterystykach częstotliwościowych. Jednak pojawienie się szybkich komputerów doprowadziło do opracowania nowych metod, które stanowią podstawę współczesnej teorii sterowania. We współczesnej teorii sterowania zachowanie systemu opisywane jest w przestrzeni stanów, a sterowanie systemem sprowadza się do określenia optymalnych, w pewnym sensie, działań sterujących na system w każdym momencie czasu. Ponadto modele matematyczne ciągłych układów dynamicznych są zwykle układami równań różniczkowych zwyczajnych, w których czas jest zmienną niezależną.

Rozwiązując problem stabilizacji, optymalność sterowania rozumie się w sensie minimum pewnego kryterium optymalności (funkcjonalności), które jest zapisane w postaci całki oznaczonej. Kryterium optymalności może charakteryzować różne aspekty jakości sterowania: koszty sterowania (energia, paliwo itp.), błędy sterowania (dla różnych zmiennych stanu) itp. Aby określić optymalną kontrolę przy rozwiązywaniu problemu stabilizacji, stosuje się klasyczną zasadę programowania dynamicznego Bellmana.

Pierwsza część podręcznika ma charakter wprowadzający: zawiera matematyczne sformułowanie problemów rozwiązywanych w sterowaniu ciągłymi układami dynamicznymi. Część druga poświęcona jest zagadnieniom poprzedzającym konstrukcję sterowania optymalnego dla układów liniowych: zagadnieniom sterowalności i obserwowalności. W trzeciej części wyprowadzono podstawowe zależności zasady programowania dynamicznego Bellmana, z których dalej określa się optymalne sterowanie liniowym układem dynamicznym przy rozwiązywaniu problemu stabilizacji. W tej samej części wykazano, że zasada programowania dynamicznego Bellmana dla układów liniowych jest organicznie powiązana z drugą metodą Lapunowa, której spełnienie twierdzeń zapewnia rozwiązanie problemu stabilizacji. W czwartej części podręcznika przedstawiono algorytmy wyznaczania optymalnego sterowania przy rozwiązywaniu problemu stabilizacji dla danego kwadratowego kryterium optymalności (całka funkcjonału jest kwadratową postacią zmiennych sterowania i stanu układu). Podano przykład wyznaczania optymalnego sterowania przy zadanym kryterium optymalności dla konkretnego układu liniowego. W piątej części przedstawiono podstawy teorii dynamicznych układów oscylacyjnych. Wyprowadzono podstawowe zależności zasady uśredniania, co w wielu przypadkach umożliwia znaczne uproszczenie analizy i syntezy układów oscylacyjnych. W części szóstej omówiono metodę wyznaczania w przybliżeniu optymalnego sterowania problemem stabilizacji za pomocą układów oscylacyjnych. Podano przykłady sterowania układami oscylacyjnymi o jednym i dwóch stopniach swobody. Analizowane są zagadnienia możliwego wpływu zaburzeń nieliniowych na rozwiązywanie problemów stabilizacji układów oscylacyjnych.

Metody przedstawione w podręczniku pozwalają znaleźć optymalne sterowanie do rozwiązywania problemów stabilizacji układów dynamicznych w postaci funkcji analitycznych w zależności od zmiennych stanu układu. W tym przypadku mówią, że problem syntezy sterowania jest rozwiązany. Metody te można przypisać teorii analitycznego projektowania regulatorów, która jest jednym z ważnych kierunków rozwoju współczesnej teorii sterowania.

Materiał zawarty w podręczniku opiera się na pracach z zakresu teorii sterowania, które z biegiem czasu stały się już klasyczne. Tutaj przede wszystkim należy zwrócić uwagę na prace L.S. Pontryagina. , Letova A.M. , Demidovich B.P. , Gropa D., Bellmana R., Moiseeva N.N., Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. oraz inni znani naukowcy krajowi i zagraniczni.

1. PODSTAWOWE TEORETYCZNE PUNKTY OPTYMALNEGO STEROWANIA UKŁADAMI DYNAMICZNYMI

1.1. Przedstawienie problemu optymalnego sterowania układami dynamicznymi

Modele matematyczne układów dynamicznych można konstruować w różnych formach. Mogą to być układy równań różniczkowych zwyczajnych, równania różniczkowe cząstkowe, odpowiadające im modele dyskretne itp. Charakterystyczną cechą opisu matematycznego dowolnego układu dynamicznego jest to, że jego zachowanie rozwija się w czasie i charakteryzuje się funkcjami ,..., które nazywane są układy zmiennych stanu (współrzędnych fazowych). W dalszej części rozważymy systemy z czasem ciągłym. Ruch układu dynamicznego może być kontrolowany lub niekontrolowany. Podczas wdrażania kontrolowanego ruchu zachowanie układu dynamicznego zależy również od funkcji sterujących…. Załóżmy również, że zachowanie układu jest określone jednoznacznie, jeśli podana jest funkcja sterowania wektorowego i początkowy stan fazowy, gdzie jest czas początkowy.

Jako model matematyczny układu dynamicznego rozważymy układ równań różniczkowych zwyczajnych zapisany w postaci normalnej Cauchy'ego

gdzie , , jest znaną funkcją wektorową.

Różne modele matematyczne układów dynamicznych z czasem ciągłym sprowadzają się najczęściej do układu (1.1). Tak więc, na przykład, jeśli zachowanie układu dynamicznego jest opisane układem równań różniczkowych cząstkowych i zachodzi w przestrzeni i czasie (modele matematyczne mechaniki kontinuum), to dyskretyzując przestrzeń (podejście elementów skończonych) dochodzimy do układ równań różniczkowych zwyczajnych podobny do ( 1.1), którego rozwiązania poszukuje się w funkcji czasu.

Wprowadzone wcześniej założenie o jednoznaczności procesu sterowania układem (1.1) jest zdeterminowane spełnieniem warunków twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań układów równań różniczkowych zwyczajnych w postaci Cauchy'ego.

Sformułujmy problem optymalnego sterowania systemem (1.1). W chwili początkowej system (1.1) jest w stanie, należy określić takie sterowanie, które doprowadzi system do danego stanu końcowego (innego niż początkowy), gdzie jest czas ostateczny. Zwykle wymagane jest, aby przejście od punktu do punktu (proces przejścia) było w pewnym sensie najlepszym ze wszystkich możliwych przejść. Przykładowo, jeśli rozważa się określony system techniczny, to proces przejścia musi spełniać warunek minimalnego zużycia energii lub warunek minimalnego czasu przejścia. Taki najlepszy proces przejścia nazywany jest zwykle procesem optymalnym.

Funkcja kontrolna zwykle należy do jakiejś domeny kontrolnej, którą jest zbiór -wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W zastosowaniach technicznych przyjmuje się, że region jest obszarem zamkniętym, to znaczy regionem obejmującym jego granice. Sterowaniem dopuszczalnym nazwiemy każde sterowanie, które przenosi system z punktu do punktu. W celu ilościowego porównania różnych dopuszczalnych kontroli wprowadza się kryterium optymalności, które z reguły przedstawia się w postaci pewnego funkcjonalnego

Funkcjonał oblicza się na podstawie rozwiązań układu (1.1) spełniających warunki i , dla danego dopuszczalnego sterowania .

Ostatecznie optymalny problem sterowania formułuje się następująco: dwa punkty i są dane w przestrzeni fazowej; spośród wszystkich dopuszczalnych elementów sterujących przenoszących punkt fazowy z położenia na położenie znajdź taki, dla którego funkcjonał (1.2) przyjmuje najmniejszą wartość.

Sterowanie dające rozwiązanie postawionego powyżej problemu nazywa się sterowaniem optymalnym i oznacza się je poprzez , a odpowiadająca mu trajektoria jest trajektorią optymalną.

Komentarz. Jeżeli konieczne jest zapewnienie maksimum jakiegoś kryterium, to problem ten można sprowadzić do problemu znalezienia minimum poprzez formalną zmianę znaku przed funkcjonałem (1.2).

Szczególnym przypadkiem postawionego problemu sterowania optymalnego jest przypadek, gdy . Wówczas funkcjonał (1.2) przyjmuje postać, a optymalność polega na realizacji minimalnego czasu przejścia z punktu do punktu. Ten problem optymalnego sterowania nazywany jest problemem wydajnościowym.

1.2. Problem optymalnej kontroli oprogramowania i stabilizacji

Rozważmy ruch układu dynamicznego (1.1). Niech zostanie znalezione optymalne sterowanie dla tego układu i uzyskana odpowiednia optymalna trajektoria. Realizując optymalną trajektorię w problemach technicznych nieuchronnie napotyka się na znaczne trudności, które polegają po pierwsze na niemożności dokładnego ustawienia rzeczywistego systemu (lub obiektu sterowania) do stanu początkowego, po drugie na dokładnym wykonaniu samego optymalnego sterowania oraz po trzecie, dokładnego przewidzenia z wyprzedzeniem warunków zewnętrznych funkcjonowania systemu (bliskość pierwotnego modelu matematycznego). Wszystko to prowadzi do konieczności rozwiązania problemu korygowania optymalnego prawa sterowania podczas funkcjonowania dowolnego układu technicznego (lub obiektu). Zatem problem optymalnego sterowania w warunkach rzeczywistych można podzielić na dwie części: 1) konstrukcja nominalnego optymalnego sterowania pierwotnego układu dynamicznego w warunkach idealnych w ramach modelu matematycznego (1.1); 2) konstruowanie korygujących działań regulacyjnych w celu realizacji zadanego nominalnego optymalnego sterowania i optymalnej trajektorii podczas pracy systemu. Pierwsza część problemu optymalnego sterowania nazywana jest zwykle problemem konstrukcji optymalnego sterowania programem i jest rozwiązywana w ramach znanych z góry informacji o rozpatrywanym systemie. Druga część problemu nazywana jest problemem stabilizacji zadanego nominalnego programu regulacji i należy go rozwiązać w trakcie pracy układu wykorzystując informacje otrzymane z urządzeń pomiarowych układu sterowania. Problem ustabilizowania nominalnego programu regulacji można także potraktować jako problem znalezienia optymalnej regulacji według odpowiedniego kryterium, co zostanie omówione poniżej (patrz rozdział 1.4).

Komentarz. Oczywiście jako nominalny program sterowania można zastosować nie tylko sterowanie optymalne, ale także dowolne inne sterowanie dopuszczalne (jeśli problem optymalizacji sterowania programem nie zostanie rozwiązany). W najprostszym konkretnym przypadku można postawić na przykład zadanie ustabilizowania pewnego stałego położenia układu.

1.3. Ruch niezakłócony i zaburzony układu dynamicznego

Ponieważ rzeczywisty ruch układu nieuchronnie różni się od nominalnego ruchu programowego, fakt ten doprowadził do koncepcji ruchów niezakłóconych i zaburzonych autorstwa Lapunowa A.A. . Zatem dowolny programowy ruch układu (1.1), niezależnie od tego, czy jest optymalny, czy dopuszczalny, nazywany jest ruchem niezakłóconym. Co więcej, ruch ten odpowiada pewnemu szczególnemu rozwiązaniu układu (1.1). Ruch zaburzony ocenia się na podstawie pewnych odchyleń od ruchu niezakłóconego. W konsekwencji ruch zaburzony będzie opisywany następującymi zmiennymi

gdzie zmienne i charakteryzują nominalny program regulacji, a zmienne i stanowią odchylenia od programu nominalnego.

Podstawiając relacje (1.3) do układu (1.1) otrzymujemy

Dodając i odejmując ten sam termin po prawej stronie systemu (1.4) i biorąc to pod uwagę

układ uzyskujemy w odchyleniach od ruchu nominalnego

gdzie , , i wyznaczane są w wyniku rozwiązania układu (1.5).

Zwykle uważa się, że odchylenia od ruchu nominalnego są niewielkie. Zatem jeśli rozwiniemy funkcję w szereg Taylora i wprowadzimy oznaczenie , , gdzie indeks (o) oznacza, że ​​dla danego programu nominalnego wyznaczane są pochodne cząstkowe, otrzymamy

Tutaj funkcja określa terminy drugiego rzędu i wyższe w odchyleniach; macierze i wybierz liniową część szeregu i mają składowe i ; .

Równania zapisane w odchyleniach (1.7) mają ogromne znaczenie w teorii sterowania. Na podstawie tych równań formułuje się dużą liczbę problemów optymalizacyjnych o znaczeniu praktycznym. Jednym z tych problemów jest sformułowany powyżej problem stabilizacji. Rozwiązując ten problem, należy określić, w jaki sposób należy dobrać korygujące działania kontrolne, aby w pewnym sensie jak najlepiej zredukować odchylenia.

1.4. Sformułowanie problemu optymalnej stabilizacji ruchu dla liniowego układu dynamicznego

Najczęściej przy rozwiązywaniu problemu stabilizacji ruchu układu lub obiektu sterującego wykorzystuje się liniowy układ dynamiczny w odchyłkach, uzyskany z układu (1.7) poprzez odrzucenie członów nieliniowych. Następnie

gdzie macierze iw ogólnym przypadku są funkcjami czasu, ponieważ zależą od nominalnego programu sterowania. , po czym mówią, że problem syntezy sterowania jest rozwiązany. Po zmianie prawa. Rozważmy przypadek, gdy macierz nie ma wielu (identycznych) wartości własnych. W tym przypadku taka transformacja prowadzi macierz do postaci diagonalnej, gdzie jest macierzą diagonalną, na której głównej przekątnej znajdują się wartości własne macierzy (dowód podano w dodatku 1).

MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI

FEDERACJA ROSYJSKA

UNIWERSYTET PAŃSTWOWY W MOSKWIE

WYDZIAŁ FIZYKI

Katedra Fizyki i Matematyki Metod Sterowania

ZADANIA

do pracy na kursie

„Optymalne sterowanie liniowymi układami dynamicznymi”

kurs „Optymalna kontrola”

Opracował: prof., doktor nauk technicznych Afanasjew V.N.

Moskwa 2014

1. CEL PRACY

Matematyczne projektowanie optymalnych liniowych układów sterowania.

1. TREŚĆ PRACY
   1. Studiowanie niezbędnego materiału teoretycznego ze źródeł;
   2. Uzyskanie analitycznego rozwiązania problemu;
   3. Opracowanie schematu blokowego układu sterowania.
   4. Nabycie umiejętności modelowania matematycznego układu sterowania z wykorzystaniem pakietu MatLab.

1. CZAS PRACY

VIII semestr, IV rok.

Zadania zadawane są w piątym tygodniu zajęć.

Odbiór ukończonych prac następuje po 10 i 11 tygodniach.

PODSTAWOWE PRZEPISY TEORETYCZNE.

SFORMUŁOWANIE PROBLEMU

Wiele obiektów kontrolnych można dość dokładnie opisać za pomocą liniowych modeli dynamicznych. Inteligentnie wybierając kwadratowe kryteria jakości i ograniczenia kwadratowe, w tym przypadku możliwa jest synteza bardzo skutecznych urządzeń sterujących z liniowym sprzężeniem zwrotnym.

Niech kontrolowane układy dynamiczne opisane liniowymi równaniami różniczkowymi

(1)

tutaj: - stan systemu; - wejście sterujące systemu; - wyjście systemowe. Zatem macierze A(t), B(t), C(t) mają odpowiednie wymiary: n x n, n x r, m x n. Załóżmy, że na kontrolę nie nakłada się żadnych ograniczeń.

Określmy cel systemu z fizycznego punktu widzenia. Pozwolić będzie „pożądanym” wyjściem systemu. Konieczne jest znalezienie takiej kontroli ty (t) , w którym wystąpił błąd systemowy

(2)

byłby „mały”.

Od zarządzania ty (t) w rozpatrywanym problemie nie jest ograniczony, to aby uniknąć dużych wysiłków w pętli sterowania i dużego zużycia energii, można wprowadzić do kryterium jakości odpowiedni wymóg uwzględniający te fakty.

Często ważne jest, aby w końcowym momencie procesu przejścia popełnić „mały” błąd.

Tłumaczenie tych wymagań fizycznych na postać tego lub innego funkcjonału matematycznego zależy od wielu powodów. W tym rozdziale rozważona zostanie prywatna klasa kryteriów jakości, mająca następującą postać:

(3)

gdzie F, Q(t) dodatnie macierze półokreślone z wymiarem m x m ; R(t) dodatnio określona macierz z wymiarem r x r .

Rozważmy każdy element funkcjonału (3). Zacznijmy. Oczywiście, ponieważ matrix Q(t) dodatni półokreślony, wówczas termin ten nie jest ujemny dla żadnego e(t) i jest równa zeru w e(t)=0. Ponieważ, gdzie q ij (t) element matrycy Q (t), i e i (t) i e j (t) składniki wektora e(t), wówczas duże błędy są wyceniane jako „droższe” niż małe.

Rozważmy członka. Ponieważ R(t) jest macierzą dodatnio określoną, to człon ten jest dodatni dla dowolnego i „karze” system za duże działania kontrolne silniej niż za małe.

Wreszcie, . Termin ten nazywany jest często kosztem stanu końcowego. Jego celem jest zapewnienie „małości” błędu w końcowym momencie procesu przejściowego.

Kryterium jakości (3) jest wygodne matematycznie, a jego minimalizacja prowadzi do tego, że optymalne układy okazują się liniowe.

Optymalny problem sterowania formułuje się następująco: podaje się liniowy, dynamiczny układ sterowany (1) i funkcjonał (3). Konieczne jest znalezienie optymalnej kontroli, tj. sterowanie, pod wpływem którego system (1) porusza się w sposób minimalizujący funkcjonalność (3). Poszukiwanie rozwiązań będzie prowadzone dla problemów z otwartym zakresem zmian działań sterujących oraz problemów, w których działania sterujące należą do zadanego zbioru.

1. ĆWICZENIA
   1. Zbadaj metodę konstruowania optymalnego sterowania liniowymi układami dynamicznymi
   2. Zgodnie z numerem opcji pobierz z aplikacji stan problemu
   3. Sprawdź właściwości sterowalności i obserwowalności
   4. Zbuduj Obserwatora Luenbergera
   5. Uzyskaj analityczne rozwiązanie problemu
   6. Narysuj schemat blokowy optymalnego układu sterowania
   7. Badanie wpływu współczynników wagowych na jakość procesów przejściowych i wartość funkcjonału jakości
   8. Modelowanie matematyczne układu sterowania z wykorzystaniem pakietu MatLab

APLIKACJA

Obiekt kontrolny:

Funkcjonalność: .

Opcja 1

Zastanów się, kiedy:

1. ;

Opcja nr 2

Zastanów się, kiedy:

1. ;

Opcja nr 3

Zastanów się, kiedy:

1. ;

Opcja nr 4

Zastanów się, kiedy:

1. ;

Opcja nr 5

Zastanów się, kiedy:

1. ;

Opcja nr 6

Zastanów się, kiedy:

1. ;

Opcja nr 7

Zastanów się, kiedy:

1. ;

Opcja nr 8

Zastanów się, kiedy:

1. ;

Opcja nr 9

Zastanów się, kiedy:

1. ;

Opcja nr 10

Zastanów się, kiedy:

1. ;

Opcja nr 11

Zastanów się, kiedy:

1. ;

Opcja nr 12

Zastanów się, kiedy:

1. ;

Opcja nr 13

Zastanów się, kiedy:

1. ;

Opcja nr 14

Zastanów się, kiedy:

14.1. ;

14.2. .

Opcja nr 15

Zastanów się, kiedy

15.1. ;

15.2. .

LITERATURA

1. Afanasyev V.N., Kolmanovsky V.B., Nosov V.R. Matematyczna teoria projektowania układów sterowania Szkoła wyższa. M., 2003, 616 s.
2. Afanasjew V.N. Teoria optymalnego sterowania ciągłymi układami dynamicznymi. Projekt analityczny. M. Wydział Fizyki Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego 2011, 170 s.
3. Afanasjew V.N. Optymalne systemy sterowania. Uniwersytet RUDN 2007. − 260 s.

Wstęp. Gospodarka rynkowa na Ukrainie wymaga nowego podejścia do zarządzania: na pierwszy plan wysuwają się kryteria efektywności ekonomicznej i rynkowej. Postęp naukowo-techniczny oraz dynamika otoczenia zewnętrznego wymuszają na nowoczesnych przedsiębiorstwach produkcyjnych przekształcenie się w systemy bardziej złożone, wymagające nowych metod zarządzania. Wzmocnienie orientacji rynkowej przedsiębiorstw i nagłe zmiany w otoczeniu zewnętrznym powodują konieczność rozwoju konkurencyjnych systemów zarządzania, mających na celu opracowywanie złożonych decyzji zarządczych, a co za tym idzie, bardziej efektywnych podejść i algorytmów rozwiązywania problemów o dużej skali.

Prace wykonano zgodnie z państwowym programem naukowo-technicznym 6.22 - zaawansowane technologie informacyjne i plany systemów dla działalności naukowej i naukowo-technicznej Instytutu Wojsk Lądowych Zakonu Lenina w Odessie na rok 2004, zgodnie z tematami prac badawczych .

Analiza najnowszych badań Obecnie jednym z głównych i najskuteczniejszych podejść do rozwiązywania wielowymiarowych problemów sterowania jest dekompozycja. Podejście to łączy grupę metod polegających na dekompozycji pierwotnego problemu wielowymiarowego na podproblemy, z których każdy jest znacznie prostszy od pierwotnego i można go rozwiązać niezależnie od pozostałych. Połączenie poszczególnych podzadań odbywa się za pomocą zadania „koordynującego”, które jest również prostsze od pierwotnego. W tym celu problem kontroli sprowadza się do postaci spełniającej wymagania dekompozycji, z których główne to: addytywność (rozdzielność) funkcji celu; blokowy charakter ograniczeń; obecność połączeń blokowych. Jednakże przy rozwiązywaniu praktycznych problemów syntezy wielowymiarowego sterowania optymalnego często trudno jest spełnić wymienione wymagania. Przykładowo jakość działania systemu produkcyjnego można ocenić za pomocą kryterium o charakterze bardzo ogólnym, które może być nierozłączne w odniesieniu do zadań zarządzania poszczególnymi podsystemami. Dlatego przy przekształcaniu pierwotnego problemu sterowania do postaci spełniającej wymagania dekompozycji nieuniknione są różne uproszczenia, przybliżenia i różne możliwości podziału problemu na lokalne podzadania, tj. bloki ograniczeń i połączeń międzyblokowych. Wszystkie te czynniki wpływają zarówno na jakość rozwiązania, jak i na złożoność obliczeń przy znalezieniu rozwiązania optymalnego.

Ze względu na brak dotychczas metod jakościowej oceny wpływu wymienionych czynników na jakość rozwiązania, zasadne wydaje się opracowanie metody rozwiązania problemu wielowymiarowego, która pozostawiałaby pewną swobodę w wyborze struktury lokalnych problemów. problemów, a także spełnianie i ocena wpływu różnych uproszczeń na jakość rozwiązań.

Z analizy źródeł literaturowych wynika, że ​​dopuszczalne metody numeryczne rozwiązywania problemów optymalizacji nieliniowej wiążą się ze znacznymi kosztami czasu i pamięci komputera, a zastosowanie linearyzacji prowadzi do strat w jakości sterowania. Dlatego wskazane jest, aby opracowywana nowa metoda rozwiązania problemu zachowała swój nieliniowy charakter, a optymalne sterowanie zostało określone w ramach zdecentralizowanej struktury obliczeniowej.

Przedmiotem badań są algorytmy rozwiązywania wielkowymiarowych problemów sterowania.

Przedmiotem badań jest opracowanie podejścia opartego na idei równoważności lub quasi-równoważności pierwotnego problemu wielowymiarowego i odpowiadającego mu problemu rozkładu bloków.

Zadaniem naukowym jest opracowanie algorytmów, których zastosowanie zapewniłoby optymalną kontrolę w ramach zdecentralizowanej struktury, bez konieczności iteracyjnej wymiany informacji pomiędzy poziomami kontroli.

Celem pracy jest rozwinięcie i uzupełnienie elementów teorii stosowanej oraz narzędzi problemowych do optymalizacji wielkowymiarowych problemów sterowania.

Nowością naukową jest opracowanie podejścia do syntezy algorytmów optymalizacyjnych dla wielkoskalowych problemów sterowania w ramach zdecentralizowanej struktury obliczeniowej, w której nie ma konieczności organizowania procesu iteracyjnego pomiędzy poziomami sterowania.

Glowny material.Niech problem optymalnego sterowania rozważanego ciągłego układu dynamicznego zostanie określony za pomocą równania różniczkowego

(1)

według kryterium

(2)

Na

gdzie - n m – wektor kontroli wymiarowej; - N – funkcja wymiarowa, której składowe są różniczkowalne w sposób ciągły po argumentach; - wypukła, różniczkowalna funkcja skalarna; - określone odpowiednio czasy początkowe i końcowe.

Aby przedstawić obiekt kontrolny (1) w postaci szeregu oddziałujących na siebie podsystemów, rozwijamy (1) w szereg Taylora względem punktu równowagi

Gdzie ,

Lub

(3)

W wyrażeniu (3) A i B reprezentują przekątne blokowe części macierzy oraz odpowiednio bloki i .

i i są częściami niediagonalnymi i, odpowiednio.

Wprowadzając wektor relacji w taki sposób, że I – składnik ten jest określony przez wyrażenie

, (4)

możemy napisać równanieI– podsystemy

gdzie - jest wektorem kontroli wymiarowej; - - wektor wymiarowy stanu; - N – wektor wymiarowy relacji.

Proponowana metoda rozkładu w celu syntezy optymalnych kontroli jest następująca. Podsystem komponentów

i biorąc pod uwagę powiązania z innymi podsystemami, nazwiemy to izolowanym.

Skład i – х i = 1,2,…, Podsystemy P są reprezentowane przez model

(5)

gdzie i są macierzami diagonalnymi bloków z blokami i odpowiednio.

Sformułujmy kryterium

, (6)

gdzie jest dodatnią, półokreśloną macierzą diagonalną blokową

z blokami; - macierz blokowo-diagonalna dodatnio określona

z blokami - optymalna kontrola.

Wyznaczamy macierze oraz z warunku quasirównoważności problemów (1) – (2) i (5) – (6), który ma postać

Tutaj , ,

Gdzie .

Do wyznaczania elementów macierzy mamy układ równań algebraicznych

. (7)

Po rozwiązaniu równania (7) mamy P niezależnych problemów optymalizacyjnych w związku ze strukturą blokowo-diagonalną macierzy

,

Lokalne sterowanie optymalne ma postać

, (8)

, spełnia liniowe równanie różniczkowe.

, . (9)

Rozwiązanie globalne to kompozycja optymalnych rozwiązań

. (10)

Wnioski. Zatem problem syntezy optymalnego sterowania dla pierwotnego problemu wielowymiarowego (1) – (2) sprowadza się do: sformułowania lokalnych problemów optymalizacyjnych (5) – (6); wyznaczanie parametrów problemów lokalnych za pomocą wzorów (3) i (6); rozwiązywanie problemów lokalnych według (8) – (9); skład roztworów lokalnych (10).

Straty jakościowe przy optymalnym podejściu do syntezy w przybliżeniu optymalnych kontroli można oszacować za pomocą wzorów zaproponowanych w.

Zaproponowano nowe podejście do rozwiązywania problemów sterowania, oparte na idei równoważności problemu początkowego o dużym wymiarze i zgodnego z ujednoliconym złożeniem problemu.

1. Mesarovic M., Mako D., Takahara I. Teoria hierarchicznych systemów wielopoziomowych. – M.: Mir, 1973.

2. Aesdon L.S. Optymalizacja dużych systemów. – M.: Mir, 1975.

3. Albrecht E.G. O optymalnej stabilizacji układów nieliniowych. – Stosowana matematyka i mechanika, 1961, t. 25.

4. Zhivoglyadov V.P., Krivenko V.A. Metoda dekompozycji wielkowymiarowych problemów sterowania za pomocą nierozdzielnego kryterium jakości. Streszczenia II Ogólnounijnej Konferencji Międzyuczelnianej „Wsparcie matematyczne, algorytmiczne i techniczne zautomatyzowanych systemów sterowania procesami”. Taszkent, 1980.

5. Hassan Mohamed, Sinqh Madan G. Optymalizacja systemów nieliniowych przy użyciu nowej metody dwupoziomowej.„Automatica”, 1976, 12, nr 4.

6. Mahmoud MS Dynamiczna optymalizacja wielopoziomowa dla klasy układów nieliniowych, „Int. J. Control”, 1979, 30, nr 6.

7. Krivenko V.A. Transformacja quasi-równoważna modeli optymalizacyjnych w zagadnieniach syntezy algorytmów sterowania. – W książce: Adaptacja i optymalizacja w dużych systemach. – Frunze, 1985.

8. Krivenko V.A. Metoda syntezy algorytmów sterowania wykorzystująca ideę modyfikacji funkcji celu. – Frunze, 1985.

9. Rumyantsev V.V. O optymalnej stabilizacji sterowanych systemów. – Matematyka i mechanika stosowana, 1970, wyd. 3.

10. Ovezgeldyev A.O., Petrov E.T., Petrov K.E. Synteza i identyfikacja wieloczynnikowych modeli oceny i optymalizacji. – K.: Naukova Dumka, 2002.

Odpowiedzi na pytania

W rozpatrywanych przykładach (problem ładowania plecaka i problem niezawodności) do opisu stanów systemu wykorzystano tylko jedną zmienną, a sterowanie ustalono na jedną zmienną. Ogólnie rzecz biorąc, w modelach programowania dynamicznego stany i sterowanie można opisać za pomocą kilku zmiennych tworzących wektory stanu i sterowania.

Wzrost liczby zmiennych stanu powoduje wzrost liczby możliwych rozwiązań związanych z każdym z etapów. Może to prowadzić do tzw. problemu „przekleństwa wymiarowości”, który stanowi poważną przeszkodę przy rozwiązywaniu średnio- i wysokowymiarowych problemów programowania dynamicznego.

Jako przykład rozważ problem załadunku plecaka, ale pod dwoma ograniczeniami (na przykład ograniczeniami dotyczącymi wagi i objętości):

Gdzie , . Ponieważ zadanie ma dwa rodzaje zasobów, konieczne jest wprowadzenie dwóch parametrów stanu i. Oznaczmy , , . Następnie ograniczenia (1) można sprowadzić do postaci:

Gdzie . W równaniach rekurencyjnych metody programowania dynamicznego dla problemu plecakowego z dwoma ograniczeniami (1):

każda z funkcji jest funkcją dwóch zmiennych. Jeżeli każda ze zmiennych może przyjąć 10 2 wartości, wówczas funkcję należy zestawić w 10 4 punktach. W przypadku trzech parametrów, przy tych samych założeniach należy obliczyć 10 8 potęg wartości funkcji.

Zatem najpoważniejszą przeszkodą w praktycznym zastosowaniu programowania dynamicznego jest liczba parametrów problemu.

Problem z zarządzaniem zapasami.

Problem zarządzania zapasami pojawia się, gdy konieczne jest utworzenie zapasu zasobów materialnych lub dóbr konsumpcyjnych w celu zaspokojenia popytu w zadanym przedziale czasu (skończonym lub nieskończonym). Każde zadanie związane z zarządzaniem zapasami wymaga określenia ilości zamawianych produktów oraz terminu złożenia zamówienia. Popyt można zaspokoić tworząc zapas jednorazowy na cały rozpatrywany okres lub tworząc zapas na każdą jednostkę czasu tego okresu. Pierwszy przypadek dotyczy nadwyżki zapasów w stosunku do jednostki czasu, drugi - niedostatecznego zapasu w stosunku do pełnego okresu.

W przypadku nadwyżek zapasów wymagane są większe specyficzne (w jednostce czasu) inwestycje kapitałowe, ale niedobory występują rzadziej i częstotliwość zamówień jest mniejsza. Z drugiej strony, gdy zapasy są niewystarczające, specyficzne inwestycje kapitałowe zmniejszają się, ale zwiększa się częstotliwość zamówień i ryzyko wyczerpania zapasów. Każdy z tych skrajnych przypadków charakteryzuje się znacznymi stratami ekonomicznymi. Zatem decyzje dotyczące wielkości zamówienia i terminu jego złożenia mogą opierać się na minimalizacji odpowiedniej funkcji kosztu całkowitego, która obejmuje koszty wynikające ze strat wynikających z nadwyżek zapasów i niedoborów.

Koszty te obejmują:

1. Koszty nabycia, które nabierają szczególnego znaczenia przy wyrażeniu ceny jednostkowej w formie rabatów ilościowych w przypadku, gdy cena jednostkowa maleje wraz ze wzrostem wielkości zamówienia.

2. Koszty zamówienia są kosztami stałymi związanymi ze złożeniem zamówienia. Zaspokajając popyt w danym okresie poprzez składanie mniejszych zamówień (częściej), koszty rosną w porównaniu do zaspokajania popytu poprzez składanie większych zamówień (a więc i rzadziej).

3. Koszty utrzymywania zapasów, czyli koszty przechowywania zapasów w magazynie (odsetki od zainwestowanego kapitału, koszty amortyzacji i koszty operacyjne), generalnie rosną wraz ze wzrostem poziomu zapasów.

4. Straty z tytułu niedoborów spowodowane brakiem zapasów niezbędnych produktów. Wiążą się one zazwyczaj z sankcjami gospodarczymi ze strony konsumentów i potencjalną utratą zysków. Rysunek 1 ilustruje zależność rozpatrywanych rodzajów kosztów od poziomu zapasów produktów. W praktyce składnik kosztowy może zostać pominięty, jeśli nie stanowi istotnej części kosztów całkowitych. Prowadzi to do uproszczenia modeli zarządzania zapasami.

Rodzaje modeli zarządzania zapasami.

Szeroka gama modeli zarządzania zapasami jest zdeterminowana charakterem popytu na produkty, który może być deterministyczny lub probabilistyczny. Rysunek 2 przedstawia schemat klasyfikacji popytu przyjęty w modelach zarządzania zapasami.

Deterministyczny popyt statyczny zakłada, że ​​intensywność zużycia pozostaje stała w czasie. Popyt dynamiczny – popyt jest znany, ale zmienia się w czasie.

Charakter popytu można najdokładniej opisać za pomocą probabilistycznych rozkładów niestacjonarnych. Jednak z matematycznego punktu widzenia model staje się znacznie bardziej złożony, zwłaszcza w miarę wydłużania się rozpatrywanego okresu.

Zasadniczo klasyfikację przedstawioną na rys. 2 można uznać za reprezentację różnych poziomów abstrakcji opisu zapotrzebowania.

Na pierwszym poziomie zakłada się, że rozkład prawdopodobieństwa popytu jest stacjonarny w czasie, tj. We wszystkich badanych okresach wykorzystuje się tę samą funkcję rozkładu prawdopodobieństwa. Przy takim założeniu w modelu nie uwzględnia się wpływu sezonowych wahań popytu.

Drugi poziom abstrakcji uwzględnia zmiany popytu z jednego okresu na drugi. Nie stosuje się jednak w tym przypadku funkcji rozkładu, a potrzeby w każdym okresie opisuje się za pomocą średniego zapotrzebowania. Uproszczenie to powoduje, że w zarządzaniu zapasami nie uwzględnia się elementu ryzyka. Pozwala jednak badać sezonowe wahania popytu, których ze względu na trudności analityczne i obliczeniowe nie można uwzględnić w modelu probabilistycznym.

Na trzecim poziomie uproszczenia przyjmuje się, że popyt w dowolnym okresie jest równy średniej wartości znanego zapotrzebowania we wszystkich rozpatrywanych okresach, tj. oceniaj go ze stałą intensywnością.

Charakter popytu jest jednym z głównych czynników przy konstruowaniu modelu zarządzania zapasami, ale istnieją inne czynniki, które wpływają na wybór typu modelu.

1. Opóźnione dostawy. Po złożeniu zamówienia może ono zostać dostarczone natychmiast lub może zająć trochę czasu. Czas pomiędzy momentem złożenia zamówienia a jego dostawą nazywany jest opóźnieniem w dostawie. Wielkość ta może być deterministyczna lub losowa.

2. Uzupełnianie zapasów. Proces uzupełniania może odbywać się natychmiastowo lub równomiernie w czasie.

3. Okres czasu określa przedział czasu, w którym regulowany jest poziom zapasów. W zależności od okresu, na który można wiarygodnie prognozować stan zapasów, przyjmuje się, że rozpatrywany okres jest skończony lub nieskończony.

4. Liczba punktów magazynowania. System zarządzania zapasami może obejmować kilka punktów przechowywania zapasów. W niektórych przypadkach punkty te są zorganizowane w taki sposób, że jeden pełni rolę dostawcy dla drugiego. Schemat ten jest czasami wdrażany na różnych poziomach, tak aby punkt konsumenta na jednym poziomie mógł stać się punktem dostawcy na innym. W tym przypadku mamy do czynienia z systemem sterowania o strukturze rozgałęzionej.

5. Liczba rodzajów produktów. System zarządzania zapasami może zawierać więcej niż jeden rodzaj produktu. Czynnik ten jest brany pod uwagę pod warunkiem, że istnieje pewna zależność pomiędzy rodzajami produktów. Tym samym ta sama powierzchnia magazynowa może być przeznaczona na różne produkty lub ich produkcja może być prowadzona w ramach ograniczeń ogólnych aktywów produkcyjnych.

Deterministyczne modele zarządzania zapasami.

1. Deterministyczny uogólniony model wyznaczania optymalnej wielkości partii produkcyjnej przy założeniu niedoboru.

System zarządzania zapasami uwzględnia się w przypadku, gdy produkty dostarczane są do magazynu bezpośrednio z linii produkcyjnej, przy stałym natężeniu jednostek produkcji w jednostce czasu. Po osiągnięciu określonego poziomu wielkości zapasów Q produkcja się zatrzymuje. Wznowienie produkcji i dostawa produktów do magazynu następuje w momencie, gdy niezaspokojony popyt osiągnie określoną wartość G. Rezerwa jest pochłaniana intensywnie. Znane są następujące parametry: - koszt przechowywania jednostki towaru w magazynie w przeliczeniu na jednostkę czasu; - koszt organizacji zamówienia (jedna partia produktów); - straty wynikające z niezaspokojonego popytu (kara). Wymagane jest znalezienie optymalnej objętości partii produktu oraz odstępu czasu pomiędzy punktami wznowienia dostaw według kryterium minimalnych kosztów całkowitych z funkcjonowania systemu zarządzania zapasami.

Graficznie uwarunkowania problemu przedstawiono na rys. 3.

Z rysunku wynika, że ​​uzupełnianie i wyczerpywanie zapasów odbywa się jednocześnie w odstępie każdego cyklu. Zgromadzone zapasy Q jest całkowicie zużywany w przerwie. W tym przedziale popyt nie jest zaspokajany, ale kumuluje się. Niezaspokojony popyt G objęte interwałem.

Ilość nazywa się pełny cykl zarządzania zapasami.- limitowanie zapasów produktów, G– marginalny niedobór produktów.

Oczywiście aktualny poziom zapasów produktów określa się według wzoru:

Z trójkąta OAB wynika:

Podobnie możemy określić , oraz (2)

Z podobieństwa trójkątów OAC i CEF możemy napisać Z równości wynika, że ​​(3)

Wyrażenie (3) uwzględniające (1) zostanie przepisane:

Wówczas całkowity koszt uzupełnienia zapasów, przechowywania zapasów produktów i ewentualnej kary za niezadowalający popyt zostanie określony wzorem:

Jeśli podamy koszty na jednostkę czasu, wówczas wyrażenie na koszty jednostkowe będzie wyglądać następująco:

Istnieje więc funkcja dwóch argumentów Q i T, których optymalne wartości określa się jako rozwiązanie problemu:

Aby znaleźć minimum funkcji dwóch argumentów, konieczne i wystarczające jest rozwiązanie układu równań:

Wynika to z faktu, że funkcja jest funkcją wklęsłą ze względu na swoje argumenty. Rozwiązanie układu równań (5) daje następujące nieujemne pierwiastki:

Minimalne koszty całkowite na jednostkę czasu będą wynosić:

Możemy rozważyć przypadki szczególne.

1. Niedopuszczalne są braki towaru. Rozwiązanie problemu w tym przypadku uzyskujemy ze wzorów (6)-(8), jeśli nałożymy karę.Wtedy C 1 /C 3 = 0 i optymalnymi wartościami wymaganych wielkości będą:

Przypadek ten odpowiada wykresowi zmian poziomu zapasów w czasie:

2. Uzupełnianie zapasów odbywa się błyskawicznie. W tym przypadku zakłada się i odpowiednio

Wykres zmian stanu zapasów wygląda następująco:

3. Niedopuszczalne są braki, zapasy uzupełniane są na bieżąco, tj. . Następnie następuje:

Wzory te nazywane są wzorami Wilsona, a wielkość nazywana jest ekonomiczną wielkością partii.

Wykres zmian stanów magazynowych wygląda następująco:

Dynamiczne modele zarządzania zapasami.

Na poprzednich wykładach omawiano statyczne problemy zarządzania zapasami w jednym okresie. W szeregu takich problemów uzyskano wyrażenia analityczne na optymalny poziom zapasów.

Rozważając działanie systemu w n okresach, a popyt nie jest stały, dochodzi się do dynamicznych modeli zarządzania zapasami. Problemów tych z reguły nie da się rozwiązać analitycznie, ale optymalne poziomy zapasów dla każdego okresu można obliczyć metodą programowania dynamicznego.

Problem zarządzania zapasami rozważa się, gdy popyt dla j-tego okresu (j=1,n) wyznaczany jest przez wartość . Niech będzie poziomem zapasów na początku j-tego okresu i niech będzie wielkością uzupełnienia zapasów w tym okresie. Uzupełnianie zapasów odbywa się natychmiast na początku okresu i niedopuszczalne są braki towaru. Graficznie uwarunkowania problemu przedstawiono na rys. 1.

Niech będzie całkowitym kosztem przechowywania i uzupełniania zapasów w j-tym okresie. Wartość jest określona i ponieważ Po zakończeniu pracy systemów rezerwa nie jest już potrzebna.

Wymagane jest określenie optymalnego wolumenu zamówień w każdym okresie według kryterium minimalnych kosztów całkowitych.

Model matematyczny problemu będzie miał postać

tutaj należy określić, które spełniałoby ograniczenia (2)-(6) i minimalizowało funkcję celu (1).

W modelu tym funkcja celu jest rozłączna, ograniczenia (2) mają postać powtarzalną. I ta cecha modelu sugeruje możliwość wykorzystania do jego rozwiązania metody programowania dynamicznego. Model (1)-(6) różni się od standardowego modelu programowania dynamicznego obecnością warunku, który można przekształcić w następujący sposób. Z (2) i (3) wynika, że ​​, lub można zapisać

Następnie z (7) biorąc pod uwagę (4) określa się zakres możliwych wartości: lub ostatecznie:

Zatem warunek (3)-(4) zostaje zastąpiony warunkiem (8), a model (1),(2),(5)-(6),(8) ma postać standardową dla metody programowania dynamicznego.

Zgodnie z metodą programowania dynamicznego rozwiązanie tego problemu składa się z następujących kroków:

Wynika z ograniczenia (12)-(14).(j=2,n).

Algorytm zostaje odwrócony i w rezultacie znalezione zostają optymalne wartości wymaganych zmiennych. Wartość minimalna funkcji celu (1) jest wyznaczana przez tę wartość

REFERENCJE

1. Popow E.V. Systemy eksperckie czasu rzeczywistego [Zasoby elektroniczne] // Systemy otwarte - 1995. - Nr 2. - Elektron. Dan. - Tryb dostępu: http://www.osp.ru/text/302/178608/

2. Crossland R., Sims W.J.H., McMahon C.A. Zorientowana obiektowo struktura modelowania do reprezentowania niepewności we wczesnych wariantach projektowania. // Badania w projektowaniu inżynierskim - 2003. - nr 14. -P. 173-183.

3. Grafika charakterystyczna ARIES [Zasoby elektroniczne] - Elektroniczne. Dan. - 2006. - Tryb dostępu: http://www.geographix.com/ps/vi-ewpg.aspx?navigation_id=1273

4. Schlumberger Merak [Zasoby elektroniczne] - Elektroniczne. Dan. -2006. - Tryb dostępu: http://www.slb.com/content/servi-ces/software/valuerisk/index.asp

5. Gensim G2 [Zasoby elektroniczne] - Elektroniczne. Dan. - 2006. - Tryb dostępu: - http://www.gensym.com/?p=what_it_is_g2

6. Thurston D.L., Liu T. Ocena projektu wielu atrybutów nie-

der Uncertainty // Automatyzacja systemów: badania i zastosowania.

1991. - V. 1. - Nr 2. - s. 93-102.

7. Paredis C.J.J., Diaz-Calderon A., Sinha R., Khosla P.K. Modele komponowalne do projektowania opartego na symulacji // Inżynieria za pomocą komputerów. - 2001. - nr 17. - s. 112-128.

8. Silich M.P. Technologia systemowa: podejście obiektowe. - Tomsk: Cz. państwo Wyższa Szkoła Systemów Sterowania i Radioelektroniki, 2002. - 224 s.

9. Silich M.P., Starodubtsev G.V. Obiektowy model wyboru projektów inwestycyjnych w zakresie zagospodarowania złóż ropy i gazu. // Automatyka, telemechanizacja i komunikacja w przemyśle naftowym. - 2004. - nr 11. - s. 16-21.

10. Khabibulina N.Yu., Silich M.P. Poszukiwanie rozwiązań wykorzystując model relacji funkcjonalnych // Technologie informacyjne

2004. - nr 9. - s. 27-33.

11. Algorytm Jessa Rete [Zasoby elektroniczne] - Elektron. Dan. -

2006. - Tryb dostępu: http://www.jessru-

les.com/jess/docs/70/rete.html

WYKORZYSTANIE NADMIAROWYCH KONTROLI WYMIAROWYCH DO AUTONOMIZACJI WYJŚĆ STEROWANYCH WIELOWYMIAROWYCH OBIEKTÓW STEROWANIA

JESTEM. Malyshenko

Adres e-mail Politechniki Tomskiej: [e-mail chroniony]

Usystematyzowano informacje na temat wpływu kontroli nadmiarowej wymiarowości na autonomizację wyjść stacjonarnych liniowych obiektów dynamicznych i zaproponowano algorytmy syntezy prekompensatorów oraz sprzężeń zwrotnych stanu i wyjścia, które zapewniają podobny efekt.

Wstęp

Problem autonomicznego (niezależnego) sterowania składowymi sterowanej mocy obiektu jest jednym ze szczególnie istotnych z praktycznego punktu widzenia problemów syntezy automatycznych układów sterowania (ACS), być może dla większości wielowymiarowych obiektów sterowania w warunki wyjściowe. Znajduje to odzwierciedlenie w wielu publikacjach, w tym w monografiach, w szczególności w.

Bardziej szczegółowo zbadano zagadnienia autonomii liniowych, stacjonarnych obiektów wielowymiarowych. Najczęściej stawiane i rozwiązywane są problemy autonomizacji (odsprzęgania) każdego z wyjść obiektu, a nie posiadania nadmiernego wymiaru m wektora sterującego (CRV). Ze względu na nieosiągalność w zasadzie takiego rozwiązania dla wielu obiektów określonego typu, problem ten zostaje zmodyfikowany w bardziej ogólny problem odsprzęgania linia po linii, zdefiniowany jako problem Morgana, gdy dla obiektu o p wyjściach jest to konieczne jest wyznaczenie p zbiorów kontroli t>p i odpowiadającego im prawa sterowania, przy czym każdy ze zbiorów wpływa tylko na jedno wyjście. Tym samym rozwiązanie określa się w klasie układów automatyki o nadmiernym wymiarze wektora sterowania względem

w porównaniu z wymiarem wektora zmiennych kontrolowanych.

Wraz z powyższymi stwierdzeniami problemy autonomizacji formułowane są również jako problemy autonomii blok po bloku (odsprzęgania), gdy niezależność jest zapewniona tylko pomiędzy współrzędnymi wyjściowymi zawartymi w ich różnych blokach, ale nie w obrębie tych bloków (grup), jak również autonomię kaskadową. W tym drugim przypadku zależność współrzędnych wyjściowych od siebie ma charakter „łańcuchowy” (każda kolejna zależy tylko od poprzednich, a nie kolejnych w ustalonym dla nich szeregu). W takich przypadkach rozwiązywanie problemów związanych z automatyzacją często wymaga redundancji wymiaru wektora sterowania w porównaniu z liczbą kontrolowanych zmiennych.

Warunki rozwiązywalności problemów autonomizacji

Rozwiązania problemów autonomizacji spotyka się zwykle w klasie prekompensatorów liniowych lub liniowych statycznych lub dynamicznych sprzężeń zwrotnych i do tych celów wykorzystuje się zarówno aparat macierzy transferu (najczęściej), jak i metody przestrzeni stanów, podejścia strukturalne i geometryczne. Ostatnie dwa

Podejście to z powodzeniem uzupełniają pierwsze, gdyż w zasadzie dopiero za ich pomocą udało się ustalić większość znanych warunków rozwiązywalności problemów autonomizacji [b] i podać głębsze interpretacje ich rozwiązań.

W przypadku stosowania prekompensatora do autonomizacji (odsprzęgania) wyjść liniowego obiektu wielowymiarowego, tj. sterownika realizującego sztywne sterowanie w funkcji nastawczej ¡d(t) bez sprzężenia zwrotnego, jego macierz przenoszenia Wy(s) jest wybierana z warunku

Wœ(s) = Wo(s) -W y(s), (1)

gdzie Wo(s) jest macierzą transferu obiektu sterującego, a Wx(s) jest pożądaną macierzą transferu syntetyzowanego układu, spełniającą warunki oddzielenia jego wyjść.

Stosowane do tych celów liniowe sprzężenie zwrotne statyczne odpowiada algorytmowi sterowania

u(t) = F x(t) + G /u(t), (2)

i dynamiczny -

u (s) = fa (s) x(s) + G fi(s). (3)

Wskazane sprzężenia zwrotne można zrealizować zarówno przy pomocy regularnej (macierz G jest odwracalna), jak i nieregularnej transformacji zadania układu ¡d(t).

Zgodnie z powyższym sprzężenia zwrotne dynamiczne można zdefiniować jako szczególny przypadek rozszerzeń dynamicznych, które uzupełniają obiekt opisany układem równań w postaci „wejście-stan-wyjście” postaci

x (t) = Ax (t) + Bu (t), y(t) = C x (t),

ua (t) p_xa (t)_

gdzie xa(/) = ia(/), lub za pomocą uogólnionego równania operatora

oraz (5) = Г(5) x(5") + О(5) ¡л(5).

Sterowanie obiektem modelem postaci według algorytmu (2) daje ostateczną macierz transferu układu

F^) = C (51 - (A + B G (5))) ~1BO =

Ж0(5) . (1 - Г(5)(51 - А) -1 В)-1 О = Ж0(5) . N(5), (4)

gdzie Wo(s)=C(sI-AylB i #(£) są odpowiednio macierzami przenoszenia obiektu i prekompensatora, równoważnymi w efekcie sprzężenia zwrotnego, I jest macierzą jednostkową wymiaru nxn.

Kanoniczna transformacja Morse'a g=(T,F,G,R,S) stosowana w podejściu geometrycznym z odwracalną T,G,S macierzy przeniesienia Wo(s) obiektu „Lo(C,A,B)

(A, B, C) ^ (TA + BF + R C)T,T ~lBG, SCT)

redukuje Wo(s) do lewych i prawych dwuprzyczynowych transformacji formy

W0(s) ^ Bi(s)-W0(s)-B2(s), (5)

gdzie B1(s) = S_1;

B2(s) = -G.

Z (4) i (5) wynika, że ​​jest to regularna statyka

Sprzężenia zwrotne (2) i dynamiczne (3) można interpretować jako dwuprzyczynowe prekompensacje, tj. można je zastąpić dwuprzyczynowymi prekompensatorami o równoważnym działaniu. W odniesieniu do drugiego stwierdzenie odwrotne jest również prawdziwe, jednakże dwuprzyczynowy prekompensator H(s) jest możliwy do wdrożenia w postaci równoważnego liniowego sprzężenia zwrotnego statycznego tylko dla obiektu z Wo(s) minimalnej implementacji oraz jeśli i tylko jeśli Wo(s) i H-1(s) - macierze wielomianowe.

Z (5) możemy również wywnioskować, że dwuprzyczynowe prekompensatory i odpowiadające im regularne statyczne i dynamiczne sprzężenia zwrotne nie mogą zmieniać struktury systemu w nieskończoności i określonych przez nią właściwości, w szczególności minimalnej bezwładności (opóźnienia) autonomicznych kanałów sterujących. Zmiany te można osiągnąć jedynie w klasie algorytmów sterowania nieregularnego.

Warunki rozwiązywalności problemów autonomizacji są powiązane z właściwościami strukturalnymi sterowanych obiektów, opisanymi za pomocą ich list niezmienników. Ponadto wymagany do tego zestaw określany jest przez to, jaki algorytm (kompensator) planuje się zastosować do tych celów. Zgodnie z tym, aby wyznaczyć możliwe do zrealizowania odsprzęgające dynamiczne sprzężenia zwrotne, wystarczająca jest informacja o strukturze wejścia-wyjścia obiektu zawarta w jego macierzy transferu lub w minimalnej części opisu w przestrzeni stanów. Rozwiązywalność tego problemu za pomocą statycznego sprzężenia zwrotnego stanu jest ustalana na podstawie wewnętrznej struktury obiektu sterującego, w szczególności na podstawie badania jego macierzy układu Rosenbrocka, Kroneckera lub kanonicznego rozkładu Morse'a.

Prekompensator rząd po rzędzie oddzielający wyjścia obiektu można wyznaczyć z (1) wtedy i tylko wtedy, gdy m>p, a macierze [Wo(s) : W(s)] i Wo(s) mają ta sama struktura postaci Smitha-McMillana w nieskończoności.

Jeśli macierz transferu obiektu ma pełną rangę wiersza (warunek konieczny dla wiersza

odsprzęganie, zapewniane tylko przy t>p), wówczas odsprzęganie może zapewnić prekompensator z matrycą transferu

gdzie Wnoб(s) jest prawą odwrotną macierzą W0(s), a k jest liczbą całkowitą, która czyni Wn(s) własną macierzą.

Udowodniono, że odsprzęganie za pomocą zwykłego sprzężenia statycznego (2) jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy odsprzęganie jest możliwe za pomocą zwykłego sprzężenia dynamicznego

(3). Z kolei według , to drugie jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy nieskończona struktura macierzy przenoszenia obiektu jest sumą nieskończonych struktur jego wierszy.

Regularność sprzężenia zwrotnego faktycznie zakłada, że ​​obiekt nie ma redundancji w wymiarze wektora sterującego (m=p). Dlatego też, jeśli w tym przypadku odsprzęgnięcie nie jest możliwe, a sterowany obiekt posiada potencjał IRVU, to w celu uzyskania autonomii w sterowaniu każdą z wielkości wyjściowych wskazane jest skorzystanie z tej redundancji lub dokonanie pewnych zmian konstrukcyjnych do obiektu sterującego, aby najpierw uzyskać od niego IRVU. Należy także pamiętać, że w sytuacjach, gdy t>p regularne sprzężenie zwrotne może nie prowadzić do pożądanego rezultatu, natomiast w klasie prekompensatorów nieregularnych lub takie samo sprzężenie zwrotne można uzyskać. Na przykład dla obiektu z macierzą transferu

Nieregularne sprzężenia zwrotne odpowiadają po prostu przyczynowym (ściśle własnym) prekompensatorom. Dlatego układy, które tworzą z obiektem kontrolnym, w ogólnym przypadku nie będą zachowywać struktury obiektu kontrolowanego w nieskończoności. Można to w szczególności wykorzystać do zapewnienia stabilności zsyntetyzowanego układu. Przypomnijmy, że zostało już udowodnione, że za pomocą regularnego sprzężenia zwrotnego odsprzężenie i stabilność układu można jednocześnie osiągnąć wtedy i tylko wtedy, gdy obiekt nie posiada niestabilnych, niezmienniczych zer zależności. Te ostatnie to te niezmienne zera £0(C,A,B), które nie są jeden do jednego

tymczasowe i niezmienne zera podsystemów strunowych £;(C,A,B). Tutaj c, /e 1,p jest /tym wierszem macierzy C obiektu. Te zera, zgodnie z warunkami odsprzęgania, określają ograniczenia w wyborze biegunów syntetyzowanego układu. W tym przypadku zbiór stałych (nie pozwalających na dowolne przypisanie) biegunów układu izolowanego wyjściami musi koniecznie zawierać wszystkie niezmienne zera zależności.

Zatem algorytm sterowania w przypadku prawostronnych, niezmienniczych zer zależności w obiekcie należy wybrać pod warunkiem, że będzie w stanie dokonać niezbędnej w warunkach stabilności poprawki na właściwości strukturalne układu. Mogą to być, jak pokazano powyżej, algorytmy z nieregularnym sprzężeniem zwrotnym, które faktycznie są realizowane w klasie systemów z IRVU.

Nie uzyskano jeszcze pełnego rozwiązania problemu odsprzęgania za pomocą sprzężenia zwrotnego dla obiektów z prawymi, niezmiennymi zerami zależności. W szczególności, aby zaimplementować ją ze statycznym sprzężeniem zwrotnym, konieczne jest, jak wynika z , aby struktura podprzestrzeni maksymalnej sterowalności zawartej w KerS była na tyle bogata, aby nieskończona struktura wzrosła do listy istotnych porządków obiektu. Te ostatnie charakteryzują stopień zależności w nieskończoności pomiędzy poszczególnymi wyjściami a wszystkimi pozostałymi i można je obliczyć ze wzoru:

pgv =ХПг -Х Пг g=1 g=1

wyjścia nie są odsprzęgane za pomocą regularnych sprzężeń zwrotnych, ale są odsprzęgane za pomocą statycznego prekompensatora z matrycą transferu

Tutaj n jest rzędem nieskończonego zera układu s¡ w postaci Smitha-McMillana macierzy przenoszenia obiektu. Pierwszą sumę w (6) wyznacza się dla układu £0(C,A,B) jako całości, drugą zaś dla CS;,A,B), gdzie C / jest macierzą C bez i-tego wiersz. Wskazane tutaj podstawowe rzędy definiują minimalną nieskończoną strukturę, którą można uzyskać z układu oddzielonego.

Dla dynamicznego nieregularnego sprzężenia zwrotnego ustalany jest jedynie warunek odsprzężenia, który sprowadza się do tego, że nadmiarowy wymiar wektora sterującego (m-p) musi być większy lub równy deficytowi rzędu kolumny w nieskończoności macierzy interaktora W0( s), a ten ostatni musi mieć pełną rangę wiersza. Podany interaktor macierzy przenoszenia obiektu W0(s) jest macierzą odwrotną do postaci hermitowskiej W0(s). Na marginesie zauważmy, że i-ty rząd zasadniczy obiektu można wyznaczyć poprzez interaktor jego macierzy przenoszenia i jest on równy stopniowi wielomianu jego i-tej kolumny.

Ogólne rozwiązania syntezy algorytmów sterowania w klasie ACS z IRVU, nawet dla obiektów liniowych zapewniających autonomię

ich wyniki nie zostały jeszcze otrzymane. Stosowanie kontroli nadmiernej wymiarowości przy rozwiązywaniu problemów odsprzęgania linia po linii (autonomii wyjść) obiektu jest wręcz konieczne.

warunek ten w tych przypadkach, gdy kontrolowany obiekt nie spełnia warunków rozwiązywalności tego problemu w klasie dwuprzyczynowych prekompensatorów i odpowiadających im sprzężeń zwrotnych.

BIBLIOGRAFIA

1. Wonham M. Liniowe wielowymiarowe systemy sterowania. - M.: Nauka, 1980. - 375 s.

2. Rosenbrock H.H. Przestrzeń stanów i teoria wielu zmiennych. - Londyn: Nelson, 1970. - 257 s.

3. Meerov M.V. Badania i optymalizacja wielopołączonych systemów sterowania. - M.: Nauka, 1986. - 233 s.

4. Malyshenko A.M. Układy automatycznej regulacji o nadmiernym wymiarze wektora sterującego. - Tomsk: Wydawnictwo Politechniki Tomskiej. Uniwersytet, 2005. - 302 s.

5. Commault C., Lafay J.F., Malabre M. Struktura układów liniowych. Podejścia geometryczne i macierzowe // Cybernetika. - 1991.

V. 27. - nr 3. - s. 170-185.

6. Descusse J., Lafay J.F., Malabre M. Rozwiązanie problemu Morgana // IEEE Trans. Automat. Kontrola. - 1988. - V. aC-33. -P. 732-739.

7. Morse A.S. Niezmienniki strukturalne liniowych układów wielu zmiennych // SIAM J. Control. - 1973. - nr 11. - s. 446-465.

8. Aling H., Schumacher J.M. Dziewięciokrotny rozkład kanoniczny dla układów liniowych // Int. J. Kontrola. - 1984. - V. 39. - P 779-805.

9. Hautus M.L.J., Heymann H. Sprzężenie zwrotne liniowe. Podejście algebraiczne // SIAM J. Control. - 1978. - nr 16. - s. 83-105.

10. Descusse J., Dion J.M. O strukturze w nieskończoności liniowych, kwadratowych układów rozłącznych // IEEE Trans. Automat. Kontrola. - 1982. -V. AC-27. - s. 971-974.

11. Falb P.L., Wolovich W. Decoupling w projektowaniu i syntezie systemów wielozmiennych // IEEE Trans. Automat. Kontrola. - 1967. -V. AC-12. - P 651-669.

12. Dion J.M., Commault C. Problem oddzielenia minimalnego opóźnienia: implementacja sprzężenia zwrotnego ze stabilnością // SIAM J. Control. -1988. - nr 26. - s. 66-88.

UDC 681.511.4

ADAPTACYJNE PSEUDO-LINIOWE KOREKTOR CHARAKTERYSTYKI DYNAMICZNEJ UKŁADÓW AUTOMATYKI

M.V. Skorospeszkin

Adres e-mail Politechniki Tomskiej: [e-mail chroniony]

Zaproponowano adaptacyjne pseudoliniowe korektory amplitudy i fazy właściwości dynamicznych układów automatycznego sterowania. Przeprowadzono badania właściwości układów automatyki z korektorami adaptacyjnymi. Pokazano skuteczność stosowania pseudoliniowych korektorów adaptacyjnych w układach automatyki o parametrach niestacjonarnych.

W systemach automatycznego sterowania obiektami, których właściwości zmieniają się w czasie, konieczne jest zapewnienie celowej zmiany charakterystyk dynamicznych urządzenia sterującego. W większości przypadków odbywa się to poprzez zmianę parametrów regulatorów proporcjonalnie-całkująco-różniczkujących (regulatory PID). Podejścia takie opisano np. w tym, że realizacja tych podejść wiąże się albo z identyfikacją, albo z zastosowaniem specjalnych metod opartych na obliczeniach wzdłuż krzywej procesu nieustalonego. Obydwa podejścia wymagają znacznego czasu konfiguracji.

W artykule przedstawiono wyniki badań właściwości układów automatyki z regulatorem PID i sekwencyjnymi adaptacyjnymi pseudoliniowymi korektorami amplitudowo-fazowymi charakterystyk dynamicznych. Charakteryzuje się tą metodą adaptacji

fakt, że w czasie pracy układu sterowania parametry sterownika nie ulegają zmianie i odpowiadają ustawieniom sprzed uruchomienia układu. Podczas pracy układu sterowania, w zależności od rodzaju zastosowanego korektora, zmienia się współczynnik transmisji korektora lub wytworzone przez niego przesunięcie fazowe. Zmiany te zachodzą jedynie w przypadkach, gdy wahania wielkości regulowanej powstają na skutek zmian właściwości obiektu regulacji lub na skutek oddziaływania zaburzeń na obiekt regulacji. Pozwala to zapewnić stabilność systemu i poprawić jakość procesów przejściowych.

Wybór korektorów pseudoliniowych do realizacji układu adaptacyjnego wyjaśniono w następujący sposób. Korektory stosowane do zmiany właściwości dynamicznych układów automatyki można podzielić na trzy grupy: liniowe, nieliniowe i pseudoliniowe. Główna wada korektorów liniowych związana jest z