O istnieniu Mozaiki Penrose'a nie każdy wie, a tym bardziej, że ta niesamowita mozaika czasem dosłownie kryje się pod stopami.
Kiedy mój mąż i ja jesteśmy gościem w rodzinie naszego syna w Finlandii, oczywiście spacerujemy po przytulnym i zadbanym mieście Helsinki. W programie naszego pobytu nie może zabraknąć wizyty w Księgarni Akademickiej Akateeminen Kirjakauppa, mieszczącej się w centrum przy ulicy Keskuskatu, co po rosyjsku oznacza ulicę Centralną. Wizyta w tej księgarni sprawia nam przyjemność estetyczną i choć książki w Finlandii są drogie, zawsze chcemy kupić chociaż małą, pięknie ilustrowaną książeczkę o kwiatach i roślinach.
Kiedyś syn, z zawodu matematyk, radził nam, idąc tym deptakiem, abyśmy dokładnie się zastanowili układanie nawierzchni płytkami... Wyjaśnił, że tak było Mozaika Penrose'a.

Oczywiście wszyscy widzieliśmy kafelki. Najczęściej ma kształt kwadratu. Z płytek układane są różne piękne wzory.

Czasami stosuje się płytki o różnych kształtach i rozmiarach, ale ogólny wygląd powłoki powierzchni jest nadal kwadratowy.

Czasami kafelki są ułożone naprzemiennie lub stosuje się kafelki inne niż kwadratowe.

Ale wszystkie te wzory nadal składają się z powtarzających się części.

Na ulicy Keskuskatu w Helsinkach płytki układane są w taki sposób, aby wzór się nie powtarza.

Do 1964 roku nikt nie wierzył, że można wymyślić taki zestaw płytek, którym można by ułożyć samolot bez powtarzania wzoru.
W 1964 roku matematyk Robert Berger wymyślił taki zestaw. Niestety w zestawie znalazło się 20 426 płytek o różnych kształtach i rozmiarach.
Niemal natychmiast zorientował się, jak zmniejszyć liczbę różnych płytek w zestawie do 104 rodzajów.
W 1968 roku słynny matematyk Donald Knuth zredukował liczbę różnych płytek do 92.

W 1971 r. Raphael Robinson wymyślił taki zestaw zaledwie sześciu płytek, które można wykorzystać do wybrukowania samolotu bez powtórzeń. Ale prawdopodobnie nie będziesz chciał ich używać w swojej łazience.

W 1973 roku angielski matematyk Roger Penrose wymyślił zestaw sześciu pięknych płytek. Nawet bardzo duża podłoga z tymi płytkami nie powtórzy wzoru.

Prawdziwa sława przyniosła Rogerowi Penrose'owi, gdy odkrył, że wystarczą dwa rodzaje płytek, aby stworzyć niepowtarzalny wzór. Te płytki to geometryczne kształty – romby, które nieco się od siebie różnią.
To jest zdjęcie matematyka Rogera Penrose'a na nie powtarzającej się powierzchni.
Układanie płytek w samolocie nie powtarzająca się ozdoba płytek nazywa się teraz Mozaika Penrose'a.

Powstała nawierzchnia wygląda tak, jakby mozaika posiadała pewną właściwość symetrii, gdy część wzoru geometrycznego można przenosić równolegle, bez obracania, a części można łączyć ze sobą.

W rzeczywistości przy bliższym przyjrzeniu się mozaice Penrose'a można zauważyć, że wzór nie ma okresowości, jednocześnie wzór nie jest chaotyczny. Symetria geometrycznego wzoru Penrose'a nazywa się rotacyjnym, ale ściśle matematycznie, piątym rzędem.

Przez około dziesięć lat matematyczny wynalazek Rogera Penrose'a nie miał żadnej wartości użytkowej i był znany głównie matematykom. Ale izraelski profesor Dan Shechtman w 1984 roku, który studiuje fizykę ciała stałego, odkrył dyfrakcję piątego rzędu na sieci atomowej stopu aluminium i magnezu. Omawiając to zjawisko, naukowcy przyjęli słynną już mozaikę Penrose'a jako model matematyczny.

Później okazało się, że pokrywanie powierzchni geometrycznymi kształtami bez przerw i nakładania się na siebie było szeroko stosowane w sztuce islamu już w średniowieczu. W Azji meczety pokryte były mozaikowymi ornamentami geometrycznymi. W starożytnych rękopisach znaleziono schematy wskazujące, że wzory zdobiące ściany nie są chaotyczne, lecz składają się z pewnych figur ułożonych w ściśle określonym porządku. Ponieważ w sztuce islamskiej zakazano przedstawiania zwierząt i ludzi, starożytni mistrzowie dekorowali świątynie geometrycznymi ornamentami.
Szeroka gama nie powtarzających się ozdób wywołuje podziw i zaskoczenie. Powód tkwi właśnie w tym, że wykorzystano specjalne rodzaje mozaik, z których wiele miało tę samą symetrię obrotową piątego rzędu i faktycznie były mozaikami Penrose'a. Można przypuszczać, że w średniowiecznej sztuce islamu rola matematyki była bardzo ważna.

Poniżej proponuję obejrzeć zdjęcie kafelki z mozaiką Penrose deptak Keskuskatu w Helsinkach. Powierzchnia jest wyłożona płytkami bez szczelin lub zakładek, podczas gdy wzór nigdzie się nie powtarza.

Uczestnicy projektu

Nikiforov Kirill, uczeń klasy 8

Rudneva Oksana, uczennica klasy 8

Poturaeva Ksenia, uczennica klasy 8

Temat badań

Mozaika Penrose'a

Problematyczne pytanie

Czym jest mozaika Penrose'a?

Hipoteza badawcza

Istnieje nieokresowe kafelkowanie samolotu

Cele badań

Poznaj mozaikę Penrose'a i dowiedz się, dlaczego nazywa się ją „złotą” mozaiką

Wyniki

Mozaika Penrose'a

Dachówka płaszczyzny to pokrycie całej płaszczyzny nienakładającymi się na siebie kształtami. W matematyce problem pełnego wypełnienia płaszczyzny wielokątami bez przerw i zakładek nazywamy parkietami lub mozaikami. Prawdopodobnie pierwsze zainteresowanie brukowaniem pojawiło się w związku z budową mozaik, ozdób i innych wzorów. Nawet starożytni Grecy wiedzieli, że problem ten można łatwo rozwiązać, pokrywając płaszczyznę regularnymi trójkątami, kwadratami i sześciokątami.

Takie kafelkowanie samolotu nazywa się okresowym. Później nauczyli się, jak wykonać kafelkowanie za pomocą kombinacji kilku regularnych wielokątów.

Trudniejszym zadaniem było wykonanie nie do końca „poprawnego” lub „prawie” okresowego parkietu. Przez długi czas uważano, że ten problem nie ma rozwiązania. Jednak w latach 60. ubiegłego wieku został on jednak rozwiązany, ale wymagało to zestawu tysięcy wielokątów różnych typów. Stopniowo zmniejszano liczbę gatunków, aż w końcu w połowie lat 70. profesor Uniwersytetu Oksfordzkiego Roger Penrose, wybitny naukowiec naszych czasów, aktywnie działający w różnych dziedzinach matematyki i fizyki, rozwiązał problem przy użyciu tylko dwóch rodzajów rombów.

Roger Penrose

Zbadaliśmy metodę konstruowania takiej mozaiki, którą obecnie nazywamy mozaiką Penrose'a. Aby to zrobić, narysuj przekątne w pięciokąt foremny (pięciokąt). Otrzymujemy - nowy pięciokąt i dwa rodzaje trójkątów równoramiennych, które nazywane są „złotymi”. Stosunek uda do podstawy w takich trójkątach jest równy „złotemu” stosunkowi. Kąty w trójkątach wynoszą 36 °, 72 ° i 72 ° w jednym oraz 108 °, 36 ° i 36 ° w drugim. Połączmy dwa identyczne trójkąty i zdobądźmy „złote” romb. Naukowiec wykorzystał je przy projektowaniu parkietu, a sam parkiet nazwano „złotym”.

Mozaika Penrose'a

Mozaika Penrose posiada właściwości:

1. stosunek liczby cienkich rombów do liczby grubych jest zawsze równy tak zwanej „złotej” liczbie 1,618 ...

Wstyd! Ludzie średniowiecza przewyższali współczesnych naukowców. Myśleliśmy, że naszym osiągnięciem jest zaawansowana matematyka i krystalografia. Okazuje się, że nic w tym rodzaju - wszystko to było już pół tysiąca lat temu. Ponadto wydaje się, że współczesną naukę wyprzedzili nie najlepsi matematycy, ale prości artyści. No, może nie bardzo proste... Ale jednak!

Nie, cóż, w rzeczywistości - współcześni matematycy zajmują się czystym nonsensem! Następnie papier jest składany 12 razy, następnie równania Lorenza są szydełkowane, a następnie kulki są skręcane w pączki. Ogólnie rzecz biorąc, z poważnych ludzi pozostał tylko Perelman i Okunkow - cała nadzieja jest w nich ...

Interesujące jest jednak to, że w starożytności ludzie dokonywali matematycznych osiągnięć, czasem nie przywiązując do nich szczególnej wagi. Interesujące jest również to, że naukowcy powtarzają dziś te same „stare” odkrycia, nie podejrzewając wcale, że wymyślają coś, co istniało bez ich domysłów od ponad wieku.

Na przykład angielski matematyk Roger Penrose wymyślił coś takiego w 1973 roku - specjalną mozaikę o geometrycznych kształtach. W związku z tym stała się mozaiką Penrose'a. Co jest w tym tak konkretnego?

Mozaika Penrose'a w wersji jej twórcy. Składa się z dwóch rodzajów rombów, jednego o kącie 72 stopni, drugiego o kącie 36 stopni. Obraz z niego okazuje się symetryczny, ale nie okresowy (ilustracja ze strony en.wikipedia.org).

Mozaika Penrose to wzór składający się z wielokątnych płytek o dwóch określonych kształtach (nieco różne romby). Mogą wybrukować nieskończoną płaszczyznę bez przerw.

Powstały obraz wygląda, jakby był rodzajem „rytmicznego” ornamentu - obrazka o symetrii translacyjnej. Ten rodzaj symetrii oznacza, że ​​we wzorcu można wybrać pewien kawałek, który można „skopiować” na płaszczyźnie, a następnie połączyć te „duplikaty” ze sobą poprzez przeniesienie równoległe (czyli bez rotacji i bez powiększenia).

Jeśli jednak przyjrzeć się bliżej, można zauważyć, że we wzorze Penrose'a nie ma takich powtarzalnych struktur – jest to aperiodyczne. Ale nie chodzi o złudzenie optyczne, ale o to, że mozaika nie jest chaotyczna: ma symetrię obrotową piątego rzędu.

Przykładami quasi-stali są stop AlMnPd i Al 60 Li 30 Cu 10 (ilustracja Paul J. Steinhardt).

Oznacza to, że obraz można obracać pod minimalnym kątem 360 / n stopnie gdzie n- kolejność symetrii, w tym przypadku n= 5. Zatem kąt obrotu, który niczego nie zmienia, musi być wielokrotnością 360/5 = 72 stopnie.

Przez około dekadę wynalazek Penrose'a był uważany za niewiele więcej niż uroczą abstrakcję matematyczną. Jednak w 1984 roku Dan Shechtman, profesor w Izraelskim Instytucie Technologicznym (Technion), badając strukturę stopu aluminiowo-magnezowego, odkrył, że na siatce atomowej tej substancji zachodzi dyfrakcja.

Wcześniejsze koncepcje fizyki ciała stałego wykluczały taką możliwość: struktura obrazu dyfrakcyjnego ma symetrię piątego rzędu. Jego części nie można łączyć transferem równoległym, co oznacza, że ​​w ogóle nie jest kryształem. Ale dyfrakcja jest charakterystyczna tylko dla sieci krystalicznej!

Jak tu być? Pytanie nie jest łatwe, więc naukowcy zgodzili się, że ta opcja będzie nazywana quasikryształami - czymś w rodzaju specjalnego stanu skupienia.

Pokazano tutaj jeden z wzorów płytek przedstawionych w XV-wiecznym arabskim rękopisie. Naukowcy podkreślili powtarzające się obszary kolorami. Wszystkie wzory geometryczne średniowiecznych mistrzów arabskich studiowane przez Lou i Steinhardta opierają się na tych pięciu elementach. Jak widać, powtarzające się elementy niekoniecznie pokrywają się z granicami płytek (ilustracja Peter J. Lu).

Cóż, całe piękno tego odkrycia, zgadliście, polega na tym, że model matematyczny był na to od dawna gotowy. I, jak zapewne zrozumiałeś, jest to mozaika Penrose'a. Ale ten nie ma wcale dziesięciu lat, ale znacznie więcej. Stało się to znane dopiero w naszych czasach, na początku XXI wieku, a ten model okazał się znacznie starszy niż można sobie wyobrazić.

W 2007 roku Peter J. Lu, fizyk z Harvard University, połączył siły z innym fizykiem, Paulem J. Steinhardtem, ale z Princeton University, aby opublikować artykuł w Science o mozaikach. Penrose (Lou powinien być znany stałym czytelnikom „ Membrany” - mówiliśmy już o jego odkryciach diamentowego cięcia starożytnych siekier i najbardziej skomplikowanych starych maszyn). Wydawałoby się, że nie ma tu wiele nieoczekiwanego: odkrycie quasikryształów wzbudziło żywe zainteresowanie tym tematem, co doprowadziło do pojawienia się w prasie naukowej masy publikacji.

Najważniejszym punktem pracy jest jednak to, że nie jest ona poświęcona nowoczesna nauka... I ogólnie - nie nauka.

Wzory „kwazikrystaliczne” znalazły swoje miejsce nie tylko w architekturze. Tutaj można zobaczyć okładkę Koranu z lat 1306-1315 oraz rysunek fragmentów geometrycznych, na których opiera się wzór. Ten i następne przykłady nie odpowiadają sieciom Penrose'a, ale mają obrotową symetrię piątego rzędu (ilustracja Petera J. Lu).

Lu zwrócił uwagę na wzory pokrywające meczety w Azji, budowane w średniowieczu. Te łatwo rozpoznawalne projekty są wykonane z mozaiki. Nazywane są girihi (od arabskiego słowa oznaczającego „węzeł”) i są geometrycznym wzorem charakterystycznym dla sztuki islamu i składają się z wielokątów.

Przez długi czas wierzono, że te wzory powstają za pomocą linijki i cyrkla. Jednak kilka lat temu, podróżując po Uzbekistanie, Lu zainteresował się mozaikowymi wzorami zdobiącymi lokalną średniowieczną architekturę i zauważył w nich coś znajomego.

Wracając na Harvard, naukowiec zaczął rozważać podobne motywy w mozaikach na ścianach średniowiecznych budowli w Afganistanie, Iranie, Iraku i Turcji.

Odkrył, że te wzory są prawie takie same i był w stanie podkreślić podstawowe elementy żyrihów używanych we wszystkich projektach geometrycznych. Ponadto znalazł rysunki tych obrazów w starożytnych rękopisach, które starożytni artyści wykorzystywali jako rodzaj ściągawki do ozdabiania ścian.

Ale okazuje się, że to wszystko nie jest tak ważne. Do tworzenia tych wzorów używali nie prostych, losowo wymyślonych konturów, ale figury ułożone w określonej kolejności. I nie jest to szczególnie zaskakujące.

Co ciekawe, zapomniawszy o takich schematach, ludzie spotkali się z nimi ponownie później. Tak, tak, starożytne wzory to nic innego jak to, co wieki później zostanie nazwane sieciami Penrose'a i zostanie znalezione w strukturze quasikryształów!

Te same obszary są uwydatnione na tych obrazach, chociaż są to fotografie z różnych meczetów (ilustracja Peter J. Lu).

W tradycji islamskiej obowiązywał surowy zakaz wizerunku ludzi i zwierząt, dlatego wzory geometryczne stały się bardzo popularne w projektowaniu budynków. Średniowiecznym rzemieślnikom udało się jakoś to zmienić. Ale jaki był sekret ich „strategii” – nikt nie wiedział. Sekretem okazuje się więc użycie specjalnych mozaik, które, pozostając symetryczne, mogą wypełniać płaszczyznę bez powtarzania.

Inną "sztuczką" tych obrazów jest to, że artyści "kopiując" takie schematy w różnych kościołach według rysunków, nieuchronnie musieliby przyznać się do przekłamań. Ale tego rodzaju naruszenia są minimalne. Wyjaśnia to tylko fakt, że rysunki na dużą skalę nie miały sensu: najważniejsza jest zasada budowania obrazu.

Do montażu żyrichów użyto płytek pięciu rodzajów (rombów dziesięcio- i pięciokątnych oraz „motyli”), które ułożono w mozaikę przylegającą do siebie bez wolnej przestrzeni między nimi. Stworzone z nich mozaiki mogły mieć jednocześnie zarówno symetrię obrotową, jak i translacyjną, a jedynie symetrię obrotową piątego rzędu (czyli były to mozaiki Penrose'a).

Fragment ornamentu irańskiego mauzoleum z 1304 roku. Po prawej stronie znajduje się rekonstrukcja żyrichów (ilustracja Peter J. Lu).

Po zbadaniu setek fotografii średniowiecznych zabytków muzułmańskich Lou i Steinhardt byli w stanie datować podobny trend do XIII wieku. Stopniowo metoda ta stawała się coraz bardziej popularna i do XV wieku stała się powszechna.

Badacze uznali sanktuarium Imama Darb-i w irańskim mieście Isfahan z 1453 roku za przykład niemal idealnej struktury quasi-krystalicznej.

To odkrycie zrobiło wrażenie na wielu osobach. Amerykańskie Stowarzyszenie na rzecz Postępu Nauki (

Algorytm konstruowania mozaik Penrose'a - modele i quasikryształy

Student
Władimirski Uniwersytet stanowy Nazwa

A.G.i, Instytut Pedagogiczny,
Wydział Fizyki i Matematyki, Vladimir, Rosja
E-mail:***** @ *** com

Quasikryształy to stosunkowo niedawno odkryty rodzaj ciał stałych, pośredni między kryształami a ciałami amorficznymi. Ich pojawienie się jest związane z eksperymentalnie odkrytymi substancjami w 1982 roku, które dają wzór dyfrakcyjny z funkcjonalnymi pikami Bragga i symetrią niezgodną z siatką translacyjną. Za swoje odkrycie izraelski fizyk i chemik Dan Shechtman otrzymał w 2011 roku Nagrodę Nobla.

Jako modele matematyczne quasikryształów zwykle stosuje się nieokresowe układy punktowe o uporządkowaniu dalekiego zasięgu. Takie matematyczne quasikryształy, w przeciwieństwie do fizycznych, można definiować w dowolnym wymiarze.

Dwuwymiarowy model quasikryształu to mozaika Penrose'a, którą matematycy badali jeszcze przed odkryciem kwazikryształów. Mozaika Penrose'a nie jest kafelkiem periodycznym, ponieważ nie przekształca się w siebie przez żadne równoległe tłumaczenia - tłumaczenia. Jednak istnieje w nim ścisła kolejność, określona przez algorytm konstruowania tej partycji.

Istnieje wiele podejść do definiowania matematycznych kwazikryształów. Najbardziej znane jest podejście polegające na projektowaniu kratownic od przestrzeni o wyższych gabarytach do mniejszych, zwane „zestawami modelowymi”. W zastosowaniu do mozaiki Penrose'a podejście to nazywa się metodą Baaki.

Ta metoda najwygodniej jest badać i analizować obraz dyfrakcyjny quasikryształów zarówno z teoretycznego punktu widzenia, jak iz punktu widzenia algorytmów komputerowych. Na podstawie tej analizy możemy wyciągnąć następujące wnioski dotyczące właściwości kwazikryształów.

Aby przeanalizować właściwości mozaiki Penrose'a, napisaliśmy program komputerowy według algorytmu Baaki, według którego okno https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif "szerokość =" 51 wysokość = 24 "height =" 24 "> .gif" width = "104" height = "24">, gdzie.

Zbiory https://pandia.ru/text/79/142/images/image007_19.gif "width =" 61 "height =" 24 ">,,,,, gdzie jest złoty podział. Następnie rzuty punktów na zestaw modeli będzie następujący : i gdzie https://pandia.ru/text/79/142/images/image016_12.gif "width =" 23 "height =" 20 "> .. gif" width = "121" height = "23">. Wierzchołki są połączone krawędzią, gdy odległość między nimi wynosi 1. Tak więc mozaika Penrose'a jest konstruowana zgodnie z powyższym algorytmem.

Odkryliśmy, że metoda Baakiego nie jest całkowicie dokładna, a wynikowe kafelkowanie nie jest dokładnie kafelkowaniem Penrose'a, ponieważ pojawiają się „dodatkowe” wierzchołki i krawędzie kafelków. Okazało się, że ta konstrukcja jest poprawna aż do wierzchołków i granic pięciokątów.

Za pomocą eksperymentu komputerowego udało się uzyskać udoskonalenie metody Baaki, w wyniku którego uzyskano mozaikę Penrose'a (ryc. 1):

Rys. 1 Mozaika Penrose'a uzyskana przez modyfikację algorytmu Baakiego

Opisana powyżej metoda konstruowania kafelków Penrose'a nazywana jest słabą parametryzacją kafelkowania Penrose'a.

Istnieje jeszcze inny sposób konstrukcji - silna parametryzacja wierzchołków podziału, gdzie poprzez parametr danego wierzchołka można uzyskać parametry sąsiednich wierzchołków. Cały zestaw parametrów podzielony jest na wielokąty, w każdym z których jednoznacznie określone jest pierwsze lokalne otoczenie punktu, a także gwiazda składająca się z wektorów łączących punkt z sąsiednimi punktami.

Czym jest mozaika

Mozaiki w przyrodzie

Mozaiki na obrazach Eschera

Czym jest mozaika Penrose'a?

Wielokątne płyty mozaikowe

Symetria mozaiki

Symetria

10. Struktura mozaiki

11. Minimalny kąt

12. Niezwykłe zjawisko

13. „Niewłaściwe” kryształy

14. Quasikryształy

15.

16. Zainteresowanie quasikryształami

17. Wzory w Azji

18.

19. Islimi

20. Mozaiki Uzbekistanu

21. Mozaiki z różnych krajów

22. Mozaiki islamskie

23. Schematy girihs

24. Zbuduj zamówienie

25.

26. Sekret starożytnych mistrzów

27. „skupienie”

28. Płytki

29. Symetria mozaik

30. Girihi

31. Data pojawienia się mozaiki

32. Płytki ceramiczne

33. Wniosek